线性递归、二元递归与运行时的关系答案

【问题标题】：The relationship between linear recursion, binary recursion and runtime线性递归、二元递归与运行时的关系
【发布时间】：2013-05-22 17:41:22
【问题描述】：

假设我们有一个需要 n 步的方法，但在最坏的情况下它会线性调用自身 n 次。在这种情况下，大 O 会是 n*n 吗？那么递归调用通常是 n^2 类似于两个 for 循环吗？

现在让我们采用二进制递归算法，例如二进制斐波那契。该算法的 1 次调用需要 n 步，但假设它最多可以重复 n 次。该算法的运行时间会是 2^n 吗？

【问题讨论】：

这可能属于：cs.stackexchange.com 而不是这里。在致力于此类事情的社区中，您会得到更好的答案。
@ArtB 你确定吗？ Stack Overflow 上有很多运行时分析问题，据我所见，Computer Science 上的问题有点多……我们应该说……困难或复杂。

标签： algorithm recursion runtime

【解决方案1】：

设f() 是一个调用自身n 次的函数。考虑代表函数f()的C代码。

int f(int n)
{
  int i;
  if(n==0)
  {
     printf("\n Recursion Stopped");
  }
  else
  {
     for(i=0;i<=n;i++)
     {
        printf("\n Hello");
     }  
     f(n-1);
  }
}

对于n = 5，消息Hello 将被打印15 次。对于n = 10，消息Hello 将被打印55 次。

一般而言，该消息将被打印n*(n+1)/2 次。

因此函数f()的复杂度为O(n²)。请记住f() 是一个具有复杂性n 的函数，f() 被递归调用n 次。如果内部循环包含诸如加法、减法等恒定时间表达式，则此类函数的复杂度等于以下循环顺序。

for(i=0;i<=n;i++)
{
  for(j=i;j<=n;j++)
  {
     /* Some constant time operation */
  }
}

对于Binary Recursion，时间复杂度为 O(2ⁿ)。

二进制递归函数调用自身两次。

下面的函数g()是一个二进制递归的例子，（它是一个Fibonacci binary recursion）

int g(int n)
{
  int i;
  if(n==0)
  {
     printf("\n Recursion Stopped");
  }
  else
  {
     printf("\n Hello");
     g(n-1);
     g(n-2);
  }
}

递归关系是g(n) = g(n-1)+g(n-2)，对于n>1。

求解我们得到 O(2ⁿ) 的上限。函数g()也是Θ(φⁿ)，其中φ 是golden ratio 和 φ = ((1+ √5)/2)

【讨论】：