使用 O(m) 空间在 O(n) 时间内对向量<int>(n) 进行排序？

Question

我有一个大小为n 的vector<unsigned int> vec。 vec 中的每个元素都在[0, m] 范围内，没有重复，我要对vec 进行排序。如果允许您使用 O(m) 空间，是否有可能比 O(n log n) 时间做得更好？在平均情况下m 比n 大得多，在最坏情况下m == n。

理想情况下，我想要 O(n) 的东西。

我觉得有一种桶排序方式可以做到这一点：

1. unsigned int aux[m];
2. aux[vec[i]] = i;
3. 以某种方式提取排列并置换vec。

我不知道怎么做 3。

在我的应用程序中，m 大约为 16k。然而，这种类型在内部循环中，占我运行时的很大一部分。

Answer 1

基数排序，也不需要值小于 m 的限制。

下面的示例实现是在 int 类型上模板化的。如果您的 m 始终小于 2^15，则应尽可能使用 int16_t 向量（如果值始终为正，则应使用更好的 uint16_t 以避免处理有符号整数的偏移量）。对于 32 位整数，这将只需要两次排序，而不是 4 次。如果你不能改变你的输入类型，你可以特殊情况下代码只执行两次并避免签名偏移。

这个实现是 O(n) 并且使用了 O(n) 额外空间（排序不到位）。

template<typename I>
void radix_sort(I first, I last) {
    using namespace std;
    typedef remove_reference_t<decltype(*first)> int_t;
    typedef make_unsigned<int_t>::type uint_t;

    const uint_t signedOffset = is_signed<int_t>::value ? uint_t(numeric_limits<int_t>::max()) + uint_t(1) : 0;
    auto getDigit = [=](uint_t n, int power) -> size_t { return ((n + signedOffset) >> (power * 8)) & 0xff; };

    array<size_t, 256> counts;
    vector<int_t> sorted(distance(first, last));
    for (int power = 0; power < sizeof(int_t); ++power) {
        counts.fill(0);
        for_each(first, last, [&](int_t i) { ++counts[getDigit(i, power)]; });
        partial_sum(begin(counts), end(counts), begin(counts));
        for_each(reverse_iterator<I>(last), reverse_iterator<I>(first), [&](int_t i) {
            sorted[--counts[getDigit(i, power)]] = i;
        });
        copy(begin(sorted), end(sorted), first);
    }
}

Answer 2

如果您知道 m = O(n²) 的事实，则可以执行 base-n 基数排序来对数组进行排序。这类似于普通的基数排序，但不是有 2 个桶或 10 个桶，而是有 n 个桶，每个可能的基数为 n 位的数字一个。

由于基数b中基数排序的运行时间是O(n log_b U)，其中U是最大值，在这种情况下我们知道运行时间是O(n log_n n²) = O(n)。这比 O(n log n) 渐近地快。它也只需要 O(n) 内存，低于 O(m) 的限制。

希望这会有所帮助！

Answer 3

不，你需要这样做：

unsigned int aux[m + 1];
bzero(aux, sizeof(aux));

foreach x in (vec) { aux[x]++; }

for(x = 0; x <= m; x++)
  for(qty = 0; qty < x; qty++)
    output(x);