击败 Strassen 算法的算法

Question

Caesar 教授希望开发一种矩阵乘法算法 渐近地比 Strassen 的算法快。他的算法将使用分治法，将每个矩阵分成大小为 n/4 x n/4 的块，并且除并合并步骤将花费 Theta(n^2) 时间。

Answer 1

你并没有具体说明这里的问题是什么，但我想这是为了反驳这个微不足道的算法比 Strassen 运行得更快。

假设您将矩阵划分为每个维度 (n / k) X (n / k) 的块（在您的问题中，k 是 4）。那么每个矩阵会有k²个块，会有k³个块乘法（每个块在第一个矩阵将乘以第二个矩阵中的 k 个块）。因此，复杂度递归为

T(n) = k³ T(n / k) + Θ(n²).

case 1 of the Master theorem，这意味着

T(n) = Θ(n^log_k(k3)) = Θ(n³ ).

这和普通的矩阵乘法一样。显然，它没有击败 Strassen。