有人可以直观地解释一下 strassen 的矩阵乘法算法吗？我已经通过（好吧，试图通过）书和维基中的解释，但它没有点击楼上。网络上使用大量英语而不是正式符号等的任何链接也会有所帮助。有没有什么类比可以帮助我从头开始构建这个算法而不必记住它？
【问题讨论】：
标签： algorithm matrix multiplication strassen
考虑将两个 2x2 矩阵相乘，如下所示：
A B * E F = AE+BG AF+BH
C D G H CE+DG CF+DH
计算右侧的显而易见的方法是进行 8 次乘法和 4 次加法。但是想象一下乘法比加法昂贵得多，所以我们希望尽可能减少乘法的数量。 Strassen 使用了一种技巧来计算右手边，减少了一次乘法和更多的加法（和一些减法）。
这是 7 个乘法：
M1 = (A + D) * (E + H) = AE + AH + DE + DH
M2 = (A + B) * H = AH + BH
M3 = (C + D) * E = CE + DE
M4 = A * (F - H) = AF - AH
M5 = D * (G - E) = DG - DE
M6 = (C - A) * (E + F) = CE + CF - AE - AF
M7 = (B - D) * (G + H) = BG + BH - DG - DH
所以要计算 AE+BG，从 M1+M7 开始（得到 AE 和 BG 项），然后加/减一些其他的 Ms，直到剩下 AE+BG。奇迹般地，选择了 M 以便 M1+M7-M2+M5 起作用。与需要的其他 3 个结果相同。
现在意识到这不仅适用于 2x2 矩阵，而且适用于任何（偶数）大小的矩阵，其中 A..H 是子矩阵。
【讨论】：
在我看来，您需要获得 3 个想法：
您可以将矩阵拆分为块，然后对生成的块矩阵进行操作，就像对数字矩阵一样。特别是，您可以将两个这样的块矩阵相乘（当然，只要一个中的块行数与另一个中的块列数匹配）并获得与原始数字矩阵相乘时相同的结果。
表达 2x2 块矩阵乘法结果所需的块具有足够的公因数，可以使用比原始公式所暗示的更少的乘法来计算它们。这是Tony's answer 中描述的技巧。
递归。
Strassen 算法只是上述的一个应用。要了解对其复杂性的分析，您需要阅读 Ronald Graham、Donald Knuth 和 Oren Patashnik 的“Concrete Mathematics”或类似的书。
【讨论】：
快速浏览一下 Wikipedia，在我看来，这种算法稍微减少了重新排列方程所需的乘法次数。
这是一个类比。 x*x + 5*x + 6 中有多少次乘法？两个，对吧？ (x+2)(x+3) 中有多少次乘法？一，对吧？但它们是相同的表达方式！
注意，我不希望这能提供对算法的深入理解，只是一种直观的方式，您可以通过这种方式了解算法如何可能导致计算复杂度的提高。
【讨论】：