C++ 中的 3x3 矩阵旋转

Question

好的，首先，我知道网络上到处都是类似的问题，我查看的内容比我想数的要多，我已经尝试弄清楚了将近 3 周（不是经常，只是时断时续，希望能激发灵感）。

最后，我想要得到的是一个函数，您可以在其中传递要旋转多少（目前我正在使用弧度，但我可以使用度数或弧度）并返回旋转矩阵，保留我所有的翻译。

我理解在二维笛卡尔平面中沿“Z”轴旋转的公式是：

[cos(radians)    -sin(radians)    0]
[sin(radians)     cos(radians)    0]
[0                0               1]

我确实非常了解矩阵数学（加法、减法、乘法和行列式/逆），但我不明白的是如何逐步制作一个可用于旋转的矩阵，保留它具有的任何翻译（以及其他任何东西，如比例）。

根据我从其他示例中收集到的信息，是将我当前的矩阵（不管是什么，我们现在只使用单位矩阵）乘以这样的矩阵：

[cos(radians) - sin(radians)]
[sin(radians) + cos(radians)]
[1]

但是我原来的矩阵最终会变成 3x1 矩阵而不是 3x3，不是吗？我不确定我错过了什么，但我觉得有些不对劲。我不一定要找人为我写的代码，只是为了了解如何正确地做到这一点，然后我可以自己编写。 （不是说我不会看别人的代码：））

（不确定这是否对任何人都重要，但以防万一，使用 Windows 7 64 位、Visual Studio 2010 Ultimate，我相信 OpenGL，这是为 Uni 准备的）

当我们在做的时候，有人可以帮我仔细检查一下吗？只是为了确保它看起来正确。

翻译矩阵（再次，让我们使用身份）是这样的：

[1, 0, X translation element]
[0, 1, Y translation element]
[0, 0, 1]

Answer 1

首先，您不能为3D 空间转换3x3 矩阵。你必须使用齐次的4x4 矩阵。

之后为每个变换（平移、旋转、缩放）创建一个单独的矩阵并将它们相乘以获得最终的变换矩阵（乘以 4x4 矩阵将得到 4x4 矩阵）

Answer 2

让我们澄清几点：

您的对象由基本上是 3 x 1 矩阵的 3D 点组成。

您需要一个 3 x 3 的旋转矩阵来旋转您的对象：R 但如果您还添加平移项，则转换矩阵将为 4 x 4：

[R11, R12, R13 tx]
[R21, R22, R23 ty]
[R31, R32, R33 tz]
[0,   0,   0,   1]

对于 R 术语，您可以查看：http://inside.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/，它们取决于每个轴的旋转角度。

为了旋转您的对象，每个 3D 点都乘以该旋转矩阵。对于每 3 x 1 点，您还需要添加第 4 项（比例因子），假设固定比例为 1：

[x y z 1]'

生成的乘积向量将是 4 x 1，最后一项是比例项，再次为 1，可以删除。

产生的旋转对象点是这些新的 3D 产品点。

Answer 3

我遇到了同样的问题，并在this SO question 中找到了一个令人满意的公式。
让(cos0, sin0) 分别是角度的余弦和正弦值，(x0, y0) 是旋转中心的坐标。
要转换坐标(x,y) 的二维点，您必须将其齐次3x1 坐标(x,y,1) 乘以这个3x3 矩阵：

[cos0,    -sin0,   x0-(cos0*x0 - sin0*y0)]
[sin0,     cos0,   y0-(sin0*x0 + cos0*y0)]
[   0,        0,                       1 ]

第三列的值是当旋转中心不是系统原点时需要应用的平移量。