从数组中找到三角形

Question

给出了由 N 个整数组成的零索引数组 A。三元组 (P, Q, R) 是三角形的，如果并且

A[P] + A[Q] > A[R], 
A[Q] + A[R] > A[P], 
A[R] + A[P] > A[Q]. 

例如，考虑数组 A 使得

A[0] = 10    A[1] = 2    A[2] =  5
A[3] =  1    A[4] = 8    A[5] = 20

三元组 (0, 2, 4) 是三角形的。 写一个函数

int triangle(const vector<int> &A);

给定一个由 N 个整数组成的零索引数组 A，如果该数组存在三角形三元组，则返回 1，否则返回 0。

假设：

N 是 [0..100,000] 范围内的整数； 数组 A 的每个元素都是 [-2,147,483,648..2,147,483,647] 范围内的整数。 例如，给定数组 A 使得

A[0] = 10 A[1] = 2 A[2] = 5 A[3] = 1 A[4] = 8 A[5] = 20 如上所述，该函数应返回 1。给定数组 A 使得 A[0] = 10 A[1] = 50 A[2] = 5 A[3] = 1 该函数应返回 0。 预期的最坏情况时间复杂度：
预期的最坏情况空间复杂度：O(1)

Answer 1

第一次声明

首先，考虑非正数是没有意义的。如果至少有一个数字是负数或零，您就不可能实现三角形不等式。这很明显，但证据如下：

假设 A、B、C 服从三角不等式，而 C

• A + C > B。因此 A > B。
• B + C > A。因此 B > A。

（矛盾）。

第二次申领

假设 A、B、C 服从三角形不等式，而 C 是 A、B、C 中最大的。那么对于 A,B 和 C 之间的每个 A2 和 B2 - 它们也将服从三角不等式。

换句话说：

• A、B、C 服从三角形不等式。
• C >= A
• C >= B
• C >= A2 >= A
• C >= B2 >= B
• 那么 A2,B2,C 也服从三角不等式。

证明很简单，足以明确写出不等式。

这样做的结果是，如果 C 是您想要找到三角不等式的最大数 - 您应该只检查集合中不超过 C 的两个最大数，并检查 A + B > C。

第三次声明

如果 0 = A*2。

证明也很简单：A + B = A*2

算法

1. 选择 2 个最大的数字 B 和 C (B
2. 选择不超过 B 的最大数 A，这样
   • A
   • 确保它与 B、C 的元素不同
   • 只考虑正整数。
   • 如果无法选择这样的号码 - 完成。 （没有三角形）。
3. 检查 A、B、C 是否服从三角不等式。测试 A + B > C。（如果有，则完成）。
4. 丢弃最大的数 C。代入 C = B，然后 B = A。
5. 转到第 2 步。

第四次声明

上述算法在最大整数大小上是对数的。换句话说，它在数据类型位数中是线性的。最坏情况的复杂性与输入长度独立有关。因此 - 输入长度为 O(1)。

证明：

在每次迭代（没有找到解决方案）我们有 A 新的 C。这意味着每两次迭代后，最大的数字至少会小 2 倍。

显然，这给了我们迭代次数的上限。假设我们的整数被限制为 31 位（我们忽略负数），而最小有趣的最大 C 是 1，这给了我们不超过 2 * (31 - 1) = 60 次迭代。

Answer 2

如果O(N³) 的时间复杂度可以接受，那么下面的伪代码应该可以工作。如果您有更严格的时间复杂度要求，则必须指定它们。

for (P in A){
    for (Q in A){
        for (R in A){
            if(A[P] > 0 && A[Q] > 0 && A[R] > 0){
                if(A[P] > A[R] - A[Q] && A[Q] > A[P] - A[R] && A[R] > A[Q] - A[P]){
                    return 1;
                }
            }
        }
    }
}
return 0;

if 语句背后的原因是这样的：

由于 int 可以是最大 int 的任何值，因此您必须处理溢出问题。如果数组中有两个非常大的整数，将它们加在一起可能会导致奇怪的错误。因此，我们测试它们是否为正，然后重写公式以进行相同的检查，但要进行减法。如果任何值为负数或 0，我们不需要做任何事情，因为：

Assume x <= 0
Assume x+y > z
Assume x+z > y
Then y > z and z > y which is a contradiction

所以没有负值或零值整数将成为三元组的一部分

Answer 3

排序会很酷，但 const 向量和 O(1) 空间要求不允许这样做。

（因为这是作业）一些提示：三角数彼此接近。

Answer 4

提示：如果您只选择数组的两个成员，那么三角形三元组的第三个成员的可能值有什么限制？超出这些限制的任何数字都可以立即被拒绝。

Answer 5

有很多就地排序；使用其中一个对数组进行排序 - 比如说对较小的数组进行梳排序（时间复杂度 O(N^2)）或堆排序（复杂度 O(N log(N)）。

一旦你对数组进行了排序，问题应该是是否存在一组 3 个数字，其中 A[X] > (A[X-1] + A[X+1]) / 2 即中间数字大于前后数字的平均值（遗憾的是，这是一个猜测，我没有真实的基础 - 如果它不正确，我希望有人纠正我，但应该有一些好方法来重新定义“三角形”要求，以便更容易检查）。

现在您只需对已排序的数组进行 O(1) 次迭代以检查条件是否为真，因此总体复杂度将是排序算法的复杂度（最佳情况 N logN）