最小迭代次数

Question

给定一个数组，其数字范围从 1 到 n（不重复），其中 n = 数组的大小。 我们可以进行以下操作：
arr[i] = arr[arr[i]-1] , 0

现在，当我们对整个数组执行上述操作时，会考虑一次迭代。 我们的任务是在遇到之前遇到的序列后找到迭代次数。

Constraints :  
a) Array has no duplicates
b) 1 <= arr[i] <= n , 0 <= i < n  
c) 1 <= n <= 10^6  

例 1：

n = 5  
arr[] = {5, 4, 2, 1, 3}  

  
After 1st iteration array becomes : {3, 1, 4, 5, 2}  
After 2nd iteration array becomes : {4, 3, 5, 2, 1}  
After 3rd iteration array becomes : {2, 5, 1, 3, 4}  
After 4th iteration array becomes : {5, 4, 2, 1, 3}    
In the 4th iteration, the sequence obtained is already seen before  
So the expected output is 4.

这个问题是在一项招聘测试中被问到的，所以我没有任何指向该问题的链接。 给出了 2 个示例测试用例，我记得上面给出了一个。我非常感谢您对这个问题的任何帮助

附言
我能够编写蛮力解决方案，其中我将所有结果存储在一个 Set 中，然后继续前进到下一个排列。但它给了TLE

Answer 1

首先，请注意，长度为 n 的数组包含 1、2、...、n 且没有重复项是 permutation。

接下来，观察arr[i] := arr[arr[i] - 1] 是平方排列。 也就是说，将排列视为symmetric group S_n 的元素，其中乘法是排列的组合。 那么上面的操作就是arr := arr * arr。

所以，就排列及其组成而言，问题如下：

给定一个排列 p (= arr)。
考虑排列 p, p^2, p^4, p^8, p^16, ...
它们之间有多少不同的元素？

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现在，要解决它，请考虑排列的cycle notation。 每个排列都是不相交循环的产物。 例如，6 1 4 3 5 2 是以下循环的乘积：(1 6 2) (3 4) (5)。 换句话说，这个排列的每一个应用：

• 沿循环移动位置 1、6、2 的元素；
• 沿循环移动位置 4、3 的元素；
• 保留位置 5 的元素。

所以，当我们考虑 p^k（取一个恒等排列并将排列 p 应用于它 k 次）时，我们实际上处理了三个独立的动作：

• 沿循环移动位置 1、6、2 的元素 k 次；
• 沿循环移动位置 4、3 的元素 k 次；
• 将位置 5 的元素保留 k 次。

现在，考虑到，在 d 次应用一个长度为 d 的循环之后，它只是将所有相应的元素返回到它们的初始位置。 因此，我们实际上可以将 p^k 表示为：

• 沿循环移动位置 1、6、2 的元素，(k mod 3) 次；
• 沿循环移动位置 4、3 的元素，(k mod 2) 次；
• 保留位置 5 的元素。

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我们现在可以证明（使用Chinese Remainder Theorem，或仅使用群论的一般知识）排列 p，p^2，p^3，p^4，p^5，... 都是不同的到 p^m，其中 m 是所有循环长度的least common multiple。 在 p = 6 1 4 3 5 2 的示例中，我们有 p、p^2、p^3、p^4、p^5 和 p^6 都是不同的。 但是 p^6 是恒等排列：沿着长度为 2 或 3 的循环移动六次会导致项目位于其初始位置。 所以 p^7 与 p^1 相同，p^8 与 p^2 相同，以此类推。

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然而我们的问题更难：我们想知道不同排列的数量不是在 p, p^2, p^3, p^4, p^5, ... 之间，而是在 p, p^2, p^4, p^8, p^16, ...：p 的 2 次方。 为此，请考虑我们排列中的所有循环长度 c_1、c_2、...、c_r。 对于每个c_i，求2^k mod c_i的前周期和周期：

• 例如，c_1 = 3，并且 2^k mod 3 看起来像 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...，即 (1, 2) 具有前周期 0 和周期 2。

• 作为另一个例子，c_2 = 2，并且 2^k mod 2 看起来像 1, 0, 0, 0, ...，即 1, (0) 与前周期 1 和周期 1。

在这个问题中，这部分可以简单地完成，只需在某个数组中标记访问过的数字 mod c_i。

再次由中国剩余定理，在考虑了所有前周期之后，整个周期系统的周期将是所有单个周期的最小公倍数。

剩下的就是考虑前期。 无论如何，这些都可以使用您的幼稚解决方案进行处理，因为这里的前期长度最多为 log_2 n。 答案是所有单个周期的最小公倍数，如上计算，加上最长的前期长度。