要在频域中插值信号，可以在时域中填充零并执行 FFT。
假设给定向量 X 中的元素个数为 N 且 Y 与 X 相同但用 N 零填充一侧。然后下面给出相同的结果。
$$\hat{x}(k)=\sum_{n=0}^{2N-1} Y(n)e^{i2\pi k n/2N},\quad k=0,...,2N-1,$$
$$\hat{x}(k)=\sum_{n=0}^{ N-1} X(n)e^{i2\pi k n/2N},\quad k=0,...,2N-1.$$
现在，如果我们使用 FFTW 包，第一个方程需要 2N 内存空间用于输入向量，而第二个方程只需要 N 内存空间（我不知道在现有的 FFTW 包中是否可以这样做）！计算复杂度也从 2N^2log(2N) 降低到 2N^2log(N)。每当我们执行 2D FFT 或 3D FFT 时，问题都会变得更糟。是否可以使用 FFTW 包执行第二种方法？不过，这在 MATLAB 中相当容易做到。
【问题讨论】：
如果 x 是一个 2N 信号，在 N 上方用零填充，它的 DFT 写成：
k 是偶数：因此，偶数频率的系数来自x(n)的N点离散傅里叶变换。
k 是奇数：因此，奇数频率的系数来自x(n)exp(i*M_PI*n/N)的N点离散傅里叶变换。
因此，零填充的 2N 信号的离散傅里叶变换恢复为长度为 N 和 fftw 信号的两个 DFT 可用于计算它们。
总计算时间为2*c*N*ln(N)，其中c 是一个常数。预计它会比直接计算 DFT c*2*N*ln(2*N) 更快。请记住 ln(2*N)=ln(2)+ln(N) ：随着 N 变大，与 ln(N) 相比，直接计算的额外工作可以忽略不计：即使维度大于 1，这个技巧也变得毫无用处。。它不影响复杂性。
此外，FFTW 非常高效，如果安装正确，它会使用您 PC 的许多功能，而且无论如何都很难做得比这更好，即使使用了所提供的技巧。 最后，如果输入信号是真实的，你可以使用fftw_plan fftw_plan_dft_r2c_2d：只有傅里叶空间中的一半系数被计算和存储。
关于内存需求，如果真的内存不足，可以使用FFTW_IN_PLACE标志，输入输出使用同一个数组。但是，它会稍微慢一些。
上面介绍的过程可以扩展为计算用 (L-1)N 个零填充的 N 点信号的 LN 信号的 DFT：它继续计算长度为 N 的 L 个 DFT。
与 FFTW 相比，您是否有任何参考资料显示 MATLAB 如何处理和优化填充信号的 DFT？
编辑：关于 3D 案例的进一步研究：
填充的 3D 信号 x(n,m,p) 的 3D DFT 是：
如果k_n、k_m 和k_p 是偶数：
如果k_n 和k_m 是偶数而k_p 是奇数：
...有8个案例。
因此，尺寸为 NxNxN 的 3D x 填充到 2Nx2Nx2N 的 3d dft 的计算恢复为尺寸为 NxNxN 的 8 3d dft 的计算。 Size a 3d dft 是 3 1d dft 的组合，大小为 N 的 dft 总数为 3x8xNxN，而直接计算需要大小为 2N 的 3x(2N)*(2N) dft。计算时间是 24cN^3ln(N) 对 24cN^3ln(2N) ：有可能小幅增长...再次 fftw 很快...
然而，我们不使用黑盒 3d fft，而是通过在每个方向上执行 1d dft 来一次计算大小为 N 的 8 个 dft。
NxN dfts => 2cN^3ln(N)
2NxN dfts => 4cN^3ln(N)
2Nx2N dfts => 8cN^3ln(N)
因此，总计算时间预计为 14cN^3ln(N) 与 24cN^3ln(2N) ：可能会有小幅增长...再次 fftw 很快...
另外，计算
只需要一次调用 exp ：首先计算 w=exp(I*M_PI/N) 然后更新 wn=wn*w; x(n)=x(n)*wn 或使用 pow 如果精度成为问题。
【讨论】：