类似于子集和的算法的C/C++实现答案

【问题标题】：C/C++ implementation of an algorithm similar to subset sum类似于子集和的算法的C/C++实现
【发布时间】：2010-01-28 07:56:31
【问题描述】：

这个问题比knapsack（或它的一种类型，没有值，只有正权重）更简单。问题在于检查一个数字是否可以是其他数字的组合。该函数应返回true 或false。

例如，

112 和带有{ 17, 100, 101 } 的列表应该返回false，469 具有相同的列表应该返回true，35 应该返回false，119 应该返回true，等等。 ..

编辑：子集和问题比背包更准确。

【问题讨论】：

我很确定 119 应该返回 false..！
天哪……现在还很早。
7 不在列表中。如果你可以乘以不在列表中的数字，为什么不乘以 1.12 从 100 得到 112？
@Pete: 7 不在列表中，但 17 是，7 乘以 17 是 119，所以 119 应该返回 true ！！！！！！ grrr（一巴掌）

标签： c++ c algorithm implementation knapsack-problem

【解决方案1】：

这是子集和问题的一个特例，集合只包含一个负数（即将 112 和 { 17, 100, 101 } 表示为 { -112, 17, 100, 101 }）。维基百科页面上有一些算法，http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem。

【讨论】：

这仍然没有考虑到集合中数字的倍数。尽管具有倍数的子集和是适用的，因为负数可以相乘。

【解决方案2】：

一个对您有帮助的观察是，如果您的列表是 {a, b, c...} 并且您要测试的数字是 x，那么只有当 x或者 x-a 可以写成子列表 {b, c, ...} 的总和。这让您可以编写一个非常简单的递归算法来解决问题。

编辑：这里有一些代码，考虑到下面的 cmets。没有经过测试，所以可能有问题；不一定是最快的。但是对于一个小数据集，它会很好地完成工作。

bool is_subset_sum(int x, std::list::const_iterator start, std::list::const_iterator end)
{
  // for a 1-element list {a} we just need to test a|x
  if (start == end) return (x % *start == 0); 

  // if x is small enough  we don't need to bother testing x - a
  if (x<a) return is_subset_sum (x, start+1, end);

  // the default case. Note that the shortcut properties of || means the process ends as soon as we get a positive.
  return (is_subset_sum (x, start+1, end) || is_subset_sum (x-a, start, end));
}

【讨论】：

好吧，如果它必须对 x 求和并且没有负整数，也许我可以使用带有子集的常见（零和）实现：{ -x, a, b, c 。 .. }
啊，好的。我将这个问题解释为简单地取列表子集的总和。如果您允许正倍数，那么您需要测试 x、x-a、x-2a 等。如果您允许负倍数，那么测试当然归结为 gcd(a,b,c...) 是否进入 x。
递归步骤会稍微复杂一些：a 是解决方案的一部分，然后 x-a 可以根据 { a, b, c } 计算，或者 a 不是解决方案的一部分解决方案和x 可以写成{ b, c }。在任何情况下，您都在减少问题的大小（较小的数字或较小的集合）。现在搜索空间可能比你想用天真的实现做的更大......

【解决方案3】：

请注意，随着查询的数量变大，阳性结果会变得越来越密集。例如，所有大于 100^2 的数字都可以由 { 17, 100, 101 } 生成。所以最优算法可能取决于查询的数量是否远大于集合的成员。你可以研究场论。

至少，如果集合的最大公约数不在查询中，您至少知道结果总是错误的，并且可以在可忽略不计的时间内进行检查。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果要到达的数字不是太大，您可能可以从集合中生成所有在 [1,N] 范围内的可到达数字。

问题：使用列表L 中的元素到达N，其中N 足够小，不必担心大小为N 元素大小的向量。

算法：

生成大小为N 的向量V
对于列表L 中的每个元素l
- 对于v 中的每个可达元素V
  - 将 V 中的所有元素 v + n*l 标记为可访问

【讨论】：

我真的很喜欢这种方法，因为列表没有变化，而且最大数量也不是很大。
又称筛子。这是我想到的第一件事，只是在 CS 中“这个算法适用于小数”是不受欢迎的。不要忘记使用bitset 将上限提高一个数量级。