带加权边缘的 1/0 背包变化

Question

我目前正在调查一个路线问题（在不超过最长旅行时间的情况下找到我想去的地方的子集 [每个都有一定的分数]），并提出了 1/0 背包问题的变体：似乎解决了我原来的问题。

根据维基百科，1/0 背包被描述为：

给定一组项目，每个项目都有一个质量和一个值，确定要包含在集合中的每个项目的数量，以便总重量小于或等于给定限制，并且总值与可能。

因此，对于每个项目，都有一个固定的重量（质量），可以在尝试解决问题时轻松使用，例如使用动态规划。

但是，如果特定物品的重量取决于包的先前内容怎么办？换句话说（并且以更一般的方式）：让我们考虑以下完整的图表：

每个节点 (A,B,C,D,E) 代表我可能想要放入背包的物品。让我们假设每个节点也有一个特定的 value 分配给它（图中省略）。我仍然希望有一个最佳背包，因此是具有最高分数的节点的子集，但是这次权重（或将特定节点添加到我当前的背包的成本）没有分配给节点本身，而是分配给边缘导致它。

这意味着添加节点的成本取决于背包的先前内容（例如，通过使用任何已包含节点中成本最低的边）。例如，如果我当前的背包由 {A,C} 组成，则添加 B 的成本为 2（取 A->B 或 C->B）。如果我当前的背包由 {D,E} 组成，则添加 B 的成本改为 3。

不幸的是，我真的想不出一个好的算法来解决这个问题。 经典的背包 DP 方法在这里实际上并不适用，因为您可以轻松地构造它不返回最佳解决方案的情况。例如，如果您开始使用“错误”节点构建您的背包，则添加一个非常好的节点（应该包含在最佳解决方案中但尝试很晚）的成本可能会超过容量。

我是否采取了完全错误的方法来解决问题？你认为有更好的算法来解决这个问题吗？

Answer 1

首先，这个问题是 NP 难的。这是从加权完整图中的最短哈密顿路径到此路径的简化。给定一个图，我们可以将所有节点的值分配为 1，然后对答案运行二进制搜索。如果这个问题有多项式解决方案，它可以判断是否存在包含所有顶点且不长于给定值的路径。因此，我们将能够在多项式时间内解决最短哈密顿路径问题。在实践中，这意味着没有人知道您的问题的有效正确多项式解决方案。

现在有两种方法：

1. 如果顶点的数量相当少（大约 20 个），您可以使用动态规划来获得精确的解决方案。状态为(mask, last_vertex)。该值是我们需要访问mask 中的所有顶点并停止在last_vertex 中的最短时间。该方案的时间复杂度为O(2^n * n^2)。

2. 如果顶点的数量大得多，你可以找到一个近似的解决方案。有很多方法可以做到这一点：启发式、不同的贪心算法、局部优化的随机抽样等等。