带加权边缘的树中心（可能为负）答案

【问题标题】：Center of tree with weighted edges (possibly negative)带加权边缘的树中心（可能为负）
【发布时间】：2015-01-11 07:42:43
【问题描述】：

对于未加权的树和具有正边缘权重的树，我之前已经看到过这个问题，但还没有看到可能具有负权重的树的解决方案。

作为参考，树的中心定义为与任何其他顶点的最大距离最小的顶点。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph tree graph-algorithm weighted

【解决方案1】：

这与具有正边权重的树的动态规划解决方案完全相同。让我们运行两次深度优先搜索（我们可以选择任意顶点作为根）。在第一阶段，我们将计算distIn(v) = the longest distance from v to a vertex from the v's subtree. 我认为这部分是微不足道的（如果需要我可以详细说明）。在第二阶段，我们将为所有v 计算不在v 子树内的最远顶点。我们称之为distOut(v)。这是它的伪代码：

void computeDistOut(v, pathFromParent) 
    distOut(v) = pathFromParent
    childDists = empty list
    for c : children of v
        childDists.add(distIn(c) + cost(v, c))
    for c : children of v
        maxDist = max among all distances from childDists except (distIn(c) + cost(v, c))
        computeDistOut(c, max(pathFromParent, maxDist) + cost(v, c))

到每个顶点的最大距离是max(distIn(v), distOut(v))。现在我们可以选择一个最小化这个值的顶点（根据定义它是一个中心）。

关于时间复杂度：如果这个解决方案实施得当，它是线性的。我们可以只在其中存储两个最大值，而不是维护到所有孩子的距离列表（childDists 伪代码）。它允许我们获得O(1) 中的maxDist 值（它是第一个或第二个最大值）。

【讨论】：

对于第一部分，the longest distance from v to a vertex from the v's subtree 这只是一个 DFS 对吧？我也不明白the furthest vertex which is not inside the v's subtree for all v 是什么意思。
@1110101001 第一部分：是的，它只是一个dfs。对于固定顶点v，任何其他顶点要么在v 的子树内，要么不在。第二部分处理那些不在v的子树内的顶点（v的子树表示以v为根的子树）。