稀疏矩阵 - 矩阵乘法

Question

如何计算稀疏矩阵-矩阵乘积？我知道这样做的“经典”/数学方式，但它似乎效率很低。可以改进吗？

我曾考虑将第一个矩阵存储为 CSR 形式，将第二个矩阵存储为 CSC 形式，因此由于行向量和列向量已排序，因此我不必搜索我需要的特定行/列，但我猜没有多大帮助。

Answer 1

免责声明 (i) 您真的不想实现自己的稀疏矩阵包，并且 (ii) 如果您需要，您应该阅读 Tim Davis 关于稀疏线性代数的书，这里是如何做一个稀疏的矩阵乘法。

通常的朴素密集乘法看起来像这样。

C = 0
for i {
    for j {
        for k {
            C(i, j) = C(i, j) + (A(i, k) * B(k, j))
        }
    }
}

由于加法通勤，我们可以以任何我们喜欢的方式排列循环索引。让我们把j 放在最外面，i 放在最里面。

C = 0
for j {
    for k {
        for i {
            C(i, j) = C(i, j) + (A(i, k) * B(k, j))
        }
    }
}

以 CSC 形式存储所有矩阵。由于j 位于最外层，我们在B 和C（但不是A）上一次次处理列。中间循环结束于k，即B 的行，并且，很方便，我们不需要访问B 中为零的条目。这使得外部两个循环以自然顺序遍历B 的非零条目。内部循环将C 的jth 列增加A 的kth 列乘以B(k, j)。为了简单起见，我们将C 的当前列以及该列非零的索引集密集存储为列表/密集布尔数组。我们避免通过通常的隐式初始化技巧写入所有 C 或布尔数组。