将分数部分转换为二进制

Question

我有一个浮点数的一小部分（例如，-10.5 中的 5 个）。这是一个字符，因为我从输入中提取了它。如何将该字符转换为该浮点数的二进制小数部分？ （我正在构建一个浮点输入-> 32 位 IEEE784 中的十六进制输出，我已经提取了尾数的符号、指数和整数部分的二进制表示。）

我一直在考虑实现将分数乘以 2 并取余数，然后重复直到填满尾数的算法，但我不允许在赋值中使用任何浮点运算。

示例： 用户输入 -10.5。程序需要取数字的小数部分（即5），并将其转换为二进制格式（即1（.1））

编辑：我受到 16 位寄存器大小的限制，因此我需要一个解决方案来对 > 2^16-1 的数字进行操作。

Answer 1

您的想法基本上是正确的。只需将小数部分加倍，进位就变成了数字。以.7转二进制为例（.5太简单了）

NUMBER REMAINDER CARRY
    .7       ---     .
   1.4        .4     1
    .8        .8     0
   1.6        .6     1
   1.2        .2     1
    .4        .4     0
    .8        .8     0
   1.6        .6     1
   1.2        .2     1
&ct.

所以二进制中的.7 是.101100110...。 10.7 就是1010.101100110...

一旦余数变为0，或者由于 IEEE 浮点精度的限制，总表示变为 24 位长，您就可以停止转换为二进制。

请注意，小数本身纯粹是装饰性的，这里没有使用浮点数。

NUMBER     %10    /10
     7     ---      .
    14       4      1
     8       8      0
    16       6      1
    12       2      1
     4       4      0
     8       8      0
    16       6      1
    12       2      1
&ct.

在.07 的情况下，您将表示余数并分别由%100 和/100 进位。对于.007，您将使用%1000 和/1000。

Answer 2

在 IEEE-754 的意义上，浮点数的小数部分在整数的上下文之外没有明确定义的含义。区分值10.5 和值10.0 的位比区分值0.0 和值0.5 的位是整个表示的较小子集。当谈论 IEEE-754 数字表示的“分数”部分时，通常是在谈论尾数的所有位。对于 24 位的 IEEE 754 单精度二进制格式，包括一个隐含位，无论数字的大小如何。

更新/修订：

根据澄清问题的更新，我已经替换了我之前的大部分答案，它解决了以编程方式提取 float 或 double 的位的问题，而不是转换十进制格式 text 表示为 IEEE-754 格式表示的位。正如我在这个答案的原始版本中所说的那样，解析文本是一个棘手的问题。

我仍然重申，我认为将尾数分成单独的部分是错误的。它没有提供我可以看到的特别优势，但它引入了稍后正确重新组合片段的问题。

这是解决整个问题的可行方法：

1. 根据有无负号判断输入数的符号。

2. 形成输入数字绝对值的大数表示。例如，以 1,000,000,000 为基数的表示形式，存储在 uint32_t 的数组中。只要底数是 10 的幂，就可以直接将十进制格式的输入数字解析为这种表示形式，并且不会引入舍入误差。

3. 将 bignum 表示按适当的 2 次方缩放以获得介于 2²³ 和 2²⁴ - 1 之间的缩放值。这只能通过整数运算。请注意，您可能需要按比例缩小而不是放大。无论哪种方式，这种缩放都可以单独通过整数算术来执行。请记住使用 2 的幂 (s) 作为比例因子（即比例因子的以 2 为底的对数，而不是比例因子本身；这可以很容易地从算法中得出，无需计算超越函数必填）。

4. 四舍五入到单位精度。

然后，您将获得步骤 1 中的符号位，尾数/有效位的位作为 bignum 的剩余有效位（请记住，在最终的 IEEE 格式中，最高有效位是隐式的，而不是显式的），以及指数为23 - s。

还要注意，这种方法可以非常自然地扩展到科学记数法。