是否存在平衡的 BST，每个节点都保持子树大小？

Question

是否有一个balanced BST 结构也可以跟踪每个节点中的子树大小？

在Java 中，TreeMap 是一棵红黑树，但不提供每个节点的子树大小。

以前，我确实写过一些可以跟踪每个节点的子树大小的 BST，但它并不平衡。

问题是：

• 是否可以实现这样的树，同时保持的效率（O(lg(n)) 用于基本操作）？
• 如果是，那么是否有任何第三方库提供这样的实现？
  Java impl 很棒，但其他语言 （例如 c、go） 也会有所帮助。

顺便说一句：

• 应在每个节点中跟踪子树的大小。
  这样就可以在不遍历子树的情况下获得大小。

可能的应用：

• 跟踪项目的排名，其值（排名所依赖的）可能会即时更改。

Answer 1

Weight Balanced Tree（也称为亚当斯树或有界平衡树）在每个节点中保持子树的大小。

这也使得在 log(n) 时间内从开始或结束找到第 N 个元素成为可能。

我的implementation in Nim is on github。它具有以下属性：

• 通用（参数化）键、值映射
• 在 O(log(N)) 时间内插入（添加）、查找（获取）和删除（删除）
• 键序迭代器（inorder 和 revorder）
• 在 O(log(N)) 时间内按从开始或结束 (getNth) 的相对位置查找
• 在 O(log(N)) 时间内按键获取位置（排名）
• 使用树键的高效集合操作
• 映射扩展以使用可选的重复值合并控制来设置操作

Scheme 和 Haskell 中也有可用的实现。

Answer 2

这就是所谓的“订单统计树”：https://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic_tree

将大小添加到任何类型的平衡二叉树（红黑、avl、b-tree 等）非常容易，或者您可以使用直接处理大小的平衡算法，例如权重平衡树（@DougCurrie 答案）或（更好的）大小平衡树：https://cs.wmich.edu/gupta/teaching/cs4310/lectureNotes_cs4310/Size%20Balanced%20Tree%20-%20PEGWiki%20sourceMayNotBeFullyAuthentic%20but%20description%20ok.pdf

不幸的是，我不认为有任何标准库实现，但如果你寻找它，你可以找到开源。你可能想自己动手。