大 O 表示法 - 包括数据结构成本？

Question

就我的问题而言，我将包含一个示例问题。

假设我们需要遍历一个包含 N 个元素的向量并删除重复项。所以，我们可能会使用一个集合，对吗？ （让我们使用一个 C++ 集合，它是一棵树）

遍历每个元素的成本为 O(N) - 然后插入到集合数据结构中。

我的问题Has a log n cost with the Set structure, 我们插入了 N 次，这个算法是 O(N log N) 还是简单的 O(N)？我正在和一位教授讨论这个问题，我不确定。 Leetcode/SO/在线社区似乎忽略了数据结构成本，但从学术的角度来看，N 插入到红/黑树中，log N 最坏的情况 - 这是 Log N，N 次不？

为了澄清 - 是的，使用 unordered_set 更有意义，但这并不能使我的问题有效。

Answer 1

复杂性表示某些引用操作的计数。

例如，您可以很好地计算某些黑盒结构中的插入次数并枚举 O(N) 次插入。

但是，如果您专注于比较，并且您知道插入平均要花费 Log N 次比较，那么比较的总数是 O(N Log N)。

现在，如果您正在比较 Log N 个字符的字符串，您将计算 O(N Log²N) 个字符比较...

Answer 2

是的，它是O(n * log(n))。如果你有这样的方法

public void foo(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // Call a method that is in O(log n)
        someLogNMethod();
    }
}

然后foo 方法在O(n * log n) 时间运行。

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示例

有很多非结构化的例子。就像在整数数组中计算 median 值一样。看看下面这个问题的解决方案，它首先通过 sorting 数组来解决这个问题。排序在Theta(n log n)（见comparison based sorting）。

public int median(int[] values) {
    int[] sortedValues = sort(values);

    // Let's ignore special cases (even, empty, ...) for simplicity
    int indexOfMedian = values.length / 2;

    return sortedValues[indexOfMedian];
}

显然你不会将这个median 方法称为Theta(1)，尽管它所做的一切都是在恒定时间 中运行的（不包括sort 方法）。

但是，问题取决于sort 方法。您无法解决在O(1) 中查找一般数组的中位数 的问题。您需要在分析中包含sort。因此，该方法实际上在Theta(n log n + 1) 中运行，即Theta(n log n)。

请注意，问题实际上可以在Theta(n) 中解决（参见Find median of unsorted array in O(n) time）。