如何找到三角形之间的仿射变换？

Question

使用 Matlab，我正在尝试解决 6 个三角形的仿射变换（请参阅 A 和 Aprime）...

三个三角形在A

triangle1: points 1,2,3 of A 
triangle2: points 4,5,6 of A 
triangle3: points 7,8,9 of A 

其中 A 的 X/Y 坐标为：
A.x = [x1 x2 x3; x4 x5 x6; x7 x8 x9]
和 A.y = [y1 y2 y3; y4 y5 y6; y7 y8 y9]

Aprim 中还有 3 个三角形。

triangle5:points 1,2,3 of Aprim 
triangle6:points 4,5,6 of Aprim 
triangle7:points 7,8,9 of Aprim

Aprim 的 X/Y 坐标为：
Aprim.x = [xp1 xp2 xp3; xp4 xp5 xp6; xp7 xp8 xp9]
和 Aprim.y = [yp1 yp2 yp3; yp4 yp5 yp6; yp7 yp8 yp9]

我需要找到仿射变换，以这种方式将A 的每个三角形映射到Aprim 的三角形：

• t1 是将 A 的 triangle1 映射到 Aprim 的 triangle1 的仿射变换。
• t2 是将 A 的 triangle2 映射到 Aprim 的 triangle2 的仿射变换。
• t3 是将 A 的点 triangle3 映射到 triangle3 的仿射变换 四月的。

问题 #1 ：在我的代码中，tform 只给我仿射变换 t3。我不知道如何更改它以了解 t1、t2、t3 的仿射变换。
问题 #2 ：我的另一个问题是在 tform 矩阵中，哪些元素是平移、旋转、缩放值？如何找到缩放、旋转角度和平移值？

谁能帮我更正下面的matlab代码？如何解决t1、t2和t3？

我的代码是：

A.x=[309  367  295;273  268 298;295 367 298];            
A.y=[292  259  277;228  253  225;277 259 225];   
Aprim.x=[267  211  265;267  261 295;259  261 211]; 
Aprim.y=[301  222  325;301  270 306;213  112 222];
for  i=1:3
A_xprim(1:3,i)= transpose(Aprim.x(i,1:3));
A_yprim(1:3,i)=transpose(Aprim.y(i,1:3));


Ax(1:3,i)= transpose(A.x(i,1:3));
Ay(1:3,i)=transpose(A.y(i,1:3));

tform = maketform('affine',[A_xprim(1:3,i) A_yprim(1:3,i)],[ Ax(1:3,i)  Ay(1:3,i)]);
end 

Answer 1

#1：这是因为您试图将所有转换结构存储在一个变量中。试试这个：

tform(i) = maketform('affine', ...);

#2：变换矩阵存储在tform(i).data.T中。 this 是关于其元素的文档。但在您的情况下，变换矩阵实际上是 matrix multiplication of basic affine transforms （平移、旋转、缩放和剪切）的结果。例如，我们不能说第一个元素显示沿 x 轴的比例值或旋转角度的余弦值。

另一个问题是你说你想将A 的每个三角形映射到Aprim 的三角形，但代码似乎做了相反的事情。我编辑了你的代码来测试结果：

clc; clear; close all;
A.x=[309  367  295;273  268 298;295 367 298];
A.y=[292  259  277;228  253  225;277 259 225];
Aprim.x=[267  211  265;267  261 295;259  261 211];
Aprim.y=[301  222  325;301  270 306;213  112 222];
for  i=1:3
    Axprim(1:3,i)= transpose(Aprim.x(i,1:3));
    Ayprim(1:3,i)=transpose(Aprim.y(i,1:3));

    Ax(1:3,i)= transpose(A.x(i,1:3));
    Ay(1:3,i)=transpose(A.y(i,1:3));

    tform(i) = maketform('affine',[Ax(1:3,i) Ay(1:3,i)],[ Axprim(1:3,i)  Ayprim(1:3,i)]);
end

[X, Y] = meshgrid(260:5:370, 220:5:300);
n = numel(X);
C = ones(n, 3);
[~, I] = sort(X(:)+Y(:));
C(I, 1) = linspace(0, 1, n);
C = hsv2rgb(C);

TX = [A.x A.x(:, 1)];
TY = [A.y A.y(:, 1)];
TPX = [Aprim.x Aprim.x(:, 1)];
TPY = [Aprim.y Aprim.y(:, 1)];

subplot(221); hold on; axis equal;

scatter(X(:), Y(:), 100, C, '.');
plot(TX', TY', 'linewidth', 2); 
plot(TPX', TPY', '--', 'linewidth', 2);
xlabel('X'); ylabel('Y');
for i = 1:3
    subplot(2, 2, i+1);
    axis equal; hold on;
    [U, V] = tformfwd(tform(i), X(:), Y(:));
    scatter(U(:), V(:), 100, C, '.');
    plot(TPX', TPY', 'linewidth', 2);
    xlabel('U'); ylabel('V');
end