R 中的优化：最大化和最小化许多变量

Question

我有一个包含 70 种食物的数据集，以及每种食物的营养价值信息（蛋白质/盎司、脂肪/盎司、卡路里/盎司等），以及每种食物的成本/盎司。我试图弄清楚——给定一个以美元为单位的预算——食物（以及每种食物的数量）的最佳组合是最大化蛋白质、最小化脂肪、最小化卡路里等。我的目标是做到这一点跨越一系列价格点，并绘制每个价格点。

我在这里找到了一大堆可以帮助解决此问题的不同软件包：http://cran.r-project.org/web/views/Optimization.html。但是，我是初学者，不确定什么最有帮助/从哪里开始 - 希望熟悉解决此类优化问题的任何人提供一些建议。

Answer 1

这被称为饮食问题，它是线性规划的流行介绍（参见，例如，the first Google hit I found for the diet problem）。通过 lpSolve 等软件包的线性规划求解器可用于解决饮食问题的许多变体。

例如，考虑上面链接中的问题版本，您有以下食物可供选择：

(food <- data.frame(Food=c("Corn", "2% Milk", "Wheat Bread"), CostPerServing=c(.18, .23, .05), VitaminA=c(107, 500, 0), Calories=c(72, 121, 65)))
#          Food CostPerServing VitaminA Calories
# 1        Corn           0.18      107       72
# 2     2% Milk           0.23      500      121
# 3 Wheat Bread           0.05        0       65

假设您想找出总成本最低的每种食物的份数，但总热量必须在 2000 到 2500 之间，维生素 A 的量必须在 5000 到 50000 之间。如果您定义变量 X1、X2 和 X2，那么您的目标是 .18*X1 + .23*X2 + .05*X3，变量的线性函数。同样，您的每个约束都在变量的线性函数中；例如，卡路里数量的下限是 72*X1 + 121*X2 + 65*X3 >= 2000 形式的约束。

lpSolve 包中的 lp 函数将指示目标值中的系数的向量和有关约束的信息（约束矩阵、每个约束的方向以及每个约束的右侧）作为输入约束）。对于所述问题，这将是：

library(lpSolve)
mod <- lp("min",  # min/max
          food$CostPerServing,  # Objective
          rbind(food$VitaminA, food$VitaminA, food$Calories, food$Calories),  # Constraint matrix
          c(">=", "<=", ">=", "<="),  # Constraint directions
          c(5000, 50000, 2000, 2500))

模型求解后，可以查看目标函数和值：

mod$objval
# [1] 2.907692
mod$solution
# [1]  0.00000 10.00000 12.15385
sum(food$VitaminA * mod$solution)
# [1] 5000
sum(food$Calories * mod$solution)
# [1] 2000

满足这些限制的最低成本是 2.91 美元，您可以通过使用 0 份玉米、10 份 2% 牛奶和 12.15 份小麦面包来实现这一目标。这正好产生 5000 单位的维生素 A 和正好 2000 卡路里。