通过成对关系检查队列一致性的高效算法

Question

我们有 n 个项目进入和离开队列，它们可以随时进入和离开。我们得到的信息是，对于每一对 (a,b)，我们知道 1) a 在 b 进入之前离开队列，反之亦然； 2) 在某个时刻，a 和 b 同时在队列中。或 3) 根本没有任何信息。假设给定所有（n 选择 2）对的成对信息列表，找到一个 O(n^2) 算法来确定信息中是否存在任何不一致。

例如a在b进入之前离开（为简单起见，写成a>b），b>c，c=a是不一致的，因为没有a,b,c进出的可能时间线使所有三个语句都为真的队列。我想过把它变成一个图横向问题，每个项目作为一个顶点，成对关系作为一条边，如果 a>b 或 b 或 b、b>c、c=a不一致，而a=b、b=c、c>a一致。

任何意见和想法将不胜感激！

Answer 1

将此视为一个有向图，如果a 在b 进入之前离开，则从a 到b 有一条弧线，反之亦然。

对于同时在队列中的节点(x,y)，注意这意味着对于每个顶点w，一致图没有x w > y。通过将这些节点合并为一个节点来反映这一点，保留所有弧。

然后，运行topological sort 来查找节点的拓扑排序。

当且仅当没有拓扑排序时，才会出现不一致。

运行时间：拓扑排序为 O(nodes + edges)，即 O(n^2)。