如何检查成本函数是凹函数还是凸函数？

Question

我如何检查这个成本函数是凹的还是凸的？我还想知道这是否有一个或多个最小值。

努力；

   function [w,pi,costvalue] = main_cost(inputdata, tmax,   alpha_ini,somrow,somcol)
   %main cost function; To get cost value for all possible random weights
   %Input:
   %inputdata : Data sample
   %tmax : Maximum Iteraitions - This determines the number of generated
   %random w and pi with cost function computation for each set. 
   %alpha_ini : The learning rate
   %Somrow,somcol : map size 

   %Output
   %w: Som weights 
   %pi: Global weights
   %costvalue: cost for a set of w,pi and input data

   %Example
   %load expdata_normalized;
   %[w,pi,costvalue]=main_cost(expdata_normalized,500,0.1,5,5);

   N = somrow * somcol; %all neurons
   Dimension = size(inputdata,2);%input data dimension
   % Get the corresponding 2D locations of the N neurons on the map
  [u(:,1) u(:,2)] = ind2sub([somrow somcol], 1:N);
  alpha = alpha_ini; %set initial learning rate

  %set map effective width
  sigma_ini = 2;
  sigma = sigma_ini;


  %initialise costvalues
  costval=zeros(1,tmax);

  %for 1 to max iterations
  for t = 1:tmax
  tic
 %generate random SOM weights
 w{t} = round(rand(N,Dimension),1);
 %generate random Global weights
 pi{t} = round (rand(1,Dimension),1);

% For 1 to all samples in the data
for j = 1:size(inputdata,1) 
   % Pick a single sample
    samplei = inputdata(j,:);
   % make global weight same dimension with SOM weights
    pirepmat = repmat(pi{t},N,1);
    % determine the winning node, from weights at iter(t) to picked
    % sample
    bmu = part1_closestNeuron(samplei, w{t},1,pirepmat);
    % calculate neighbourhood for SOM at iter (t)
    for k = 1:size(w{t},1)
        neighbourhoodF = exp(-eucdist(u(bmu,:),u(k,:), somrow, somcol, 1)^2 / (2*sigma^2));
        allneighbourhoodF(k)= neighbourhoodF;
    end
    % now get cost value with; inputdata(all-static), Somweights at
    % iter(t), and Global weights at iter(t)
    costval(t) = costval(t)+CostFunction_iter(inputdata, w{t},pi{t},allneighbourhoodF);
end
toc
end
costvalue = costval;
end

我在上面的代码中尝试做的是获取一个随机权重值作为上述成本函数的输入，然后使用不变的样本计算这些随机输入的成本值，如果我找到多个最小成本，那么这证实了我的成本函数不是凸的。

我的代码与我在问题中发布的成本函数略有不同，因为我有一个额外的输入。作为我的实现的输出，我有针对我的样本的不同权重的成本值，现在我无法将其可视化。

Answer 1

您需要了解什么是凸性。对于简短版本，check Wikipedia。

要更详细的版本，我推荐 this lecture 2 和 this lecture 3 Boyd 的凸优化课程。该课程的开始部分介绍了一系列用于识别/检查凸性的有用数学。

如果一个函数不是凸的，你可以通过找到一个反例来反驳凸性：

• 绘制函数是 2d 还是 3d。
• 绘制应用于两个随机点的凸组合的函数值，并寻找非凸区域。

如果存在两个点 x 和 y 以及 [0,1] 中的一个标量 a 使得 a * f(x) + (1-a) * f(y) < f(a*x +(1-a) * y) （基本上是向下曲线的某处），则违反凸性。

未能证明凸性不与证明凸性相同！证明凸性的一些方法是：

• 显示 Hessian 是半正定的。
• 直接应用凸性定义（显示满足所有可能性的定义）
• 通过构造规则显示函数是凸函数...例如。一组凸函数的逐点最大值是凸的。等等...应用这样的定理。

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看看张贴的图片，一个规范总是凸的（定义的结果）。凸函数之和是凸的，但是我不知道那个K的东西是什么……

Answer 2

你不能通过模拟来检查这个。

凸性是您需要通过查看成本函数的导数在纸上检查的属性。这严格需要数学解决，而不是 matlab 示例模拟。