求解具有不同模数的链接方程组答案

【问题标题】：resolve a system of linked equations with different modulo求解具有不同模数的链接方程组
【发布时间】：2017-02-04 19:46:18
【问题描述】：

是否有任何算法可以求解以不同模空间表示的方程组？例如，考虑这个方程组：

(x1 + x2     ) % 2 = 0
(     x2 + x3) % 2 = 0
(x1 + x2 + x3) % 3 = 2

本系统的解决方案之一是：

x1 = 0
x2 = 2
x3 = 0

我怎样才能在算术上找到这个解决方案（不使用蛮力算法）？

谢谢

【问题讨论】：

有趣的问题。当然，Presburger 算术的决策过程是可行的，但它既复杂又缓慢。有趣的情况是当模数是同素数的幂时；给定一个方程 ... = ... mod (pq) 其中 gcd(p, q) = 1，我们可以将其拆分为 ... = ... mod p 和 ... = ... mod q，然后使用中国剩余定理组装最终解决方案。

【解决方案1】：

你可以把这些方程改写为

x1 + x2 = 2*n1
x2 + x3 = 2*n2
x1 + x2 + x3 = 3*n3 + 2

现在，这是一个线性丢番图方程问题，文献中有解决方案。

算法：

将 xi 写为 nks 的函数

在这种情况下：

x3 = 3*n3 + 2 - 2*n1
x2 = 2*n2 - (3*n3 + 2 - 2*n1)
x1 = 2*n1 - (2*n2 - (3*n3 + 2 - 2*n1))

由于右侧没有除法，因此选择任何（n1，n2，n3），您应该会得到一个解决方案。

【讨论】：

那么有没有一种算法可以自动求解像这样的丢番图方程的系统，我没有找到...
感谢您的回答。使用矩阵单模原始归约方法，我能够自动将 xi 表示为 nis 的函数。但是我现在基本上最终得到了一个具有 m 个未知 ni 变量的系统（而不是 m xi 个未知变量），而且我真的不明白我的算法如何自动选择正确的 ni 值（在示例中没有除法，所以每个ni 是免费的。但总是这样吗，我不能对那个 ni 进行限制吗？）
@ThomasBernard 我不是这方面的专家。您可能应该阅读我链接的论文。无论如何，一般情况并非微不足道。
是的，我读过这篇论文。事实上，一般情况远非微不足道：arxiv.org/pdf/1206.5114v1.pdf。至于我的用例，如果有多种解决方案，我还必须找到 Sum{abs(xi)} 最小的那个，论文的方法不适合我的需要。我最终得到了一个矩阵缩减和蛮力解决方案空间搜索的混合解决方案，令我满意（在不到一秒的时间内运行，桌面上有数百个变量）。感谢您的帮助

【解决方案2】：

第一行相当于说x1，x2全是偶数或全是奇数。第二行与说x2相同，x3全是偶数或全是奇数。因此 x1,x2,x3 都是偶数或奇数。从第三行我们可以将问题替换为“3 个奇数或 3 个偶数，累积到 3k+2”。

【讨论】：

【解决方案3】：

您可以将系统转换为模 LCM（最小公倍数）。只要找到所有方程的模的LCM，并适当地乘以每个方程。

【讨论】：

感谢您的回答。你能再开发一点吗？当您说“适当地乘以每个方程式”时，它究竟是什么意思？在我发布的示例中，LCM 为 6，那么系统转换为模 6 会是什么？
@ThomasBernard 是的，没错。第一个 2 应该乘以 3，最后一个 - 乘以 2。
谢谢。但是，我现在遇到了另一个问题。为了解决我的线性方程组模n，我曾经使用高斯-乔丹消除算法，该算法需要将一些线乘以它们的逆模，以便在行梯形矩阵矩阵的对角线上仅得到“1”值。但是，这里不可能，因为 2^-1 mod 6 和 3^-1 mod 6 不存在......（我的矩阵中只有 2、3 和 0 值）