从 Reader Bool 到 Maybe 的自然转换

Question

我正在阅读 Bartosz 的精彩博客，接着挑战问题 3，我有点难过：

https://bartoszmilewski.com/2015/04/07/natural-transformations/

Q3：定义一些从Reader Bool 到Maybe 的自然转换

我已将 Reader 函子定义为：

newtype Reader e a = Reader (e->a)

runReader :: Reader e a -> e -> a
runReader (Reader f) env = f env

instance Functor (Reader e) where
    fmap f (Reader g) = Reader (\x -> f (g x))

我想找到一个自然的转变

n :: Reader Bool a -> Maybe a

我的直觉是，如果Reader的环境是True，我可以有一个Just a，如果是False，那么自然转化项目到Nothing。但这感觉有点单子，或者像 Maybe 嵌套在 Reader 中，像 Reader Bool (Maybe Int)，所以我不确定。

我不知道该怎么做。我拥有的最好的是：

n :: Reader Bool a -> Maybe a
n (Reader f) = Just (f True)

但这不能考虑环境，也不能返回Nothing。

我想建造一个可以通勤的结构，用fmap 建造一个广场，并进行自然转换。

例如：

                          nat
Reader Bool Int +---------------------------> Maybe Int
     +                                            +
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |    fmap show                               |  fmap show
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     v                  nat                       v
Reader Bool String  +--------------------------> Maybe String                         

你能帮我填补空白吗？

Answer 1

正如我在评论中已经说过的，您希望 n 使用环境，但是由于您只有 Reader，因此没有环境，您必须自己提供。

显然，这实际上是三个不同自然变换Reader Bool a -> Maybe a：

n (Reader f) = Just (f True)

n (Reader f) = Just (f False)

n (Reader f) = Nothing

让我们证明没有更多。在范畴论的术语中，函子Reader Bool a 就是Hom(Bool,_)。现在，Yoneda lemma 告诉我们

Nat(Hom(X,_), F) = F(X)

也就是说，从函子Hom(X,_) 到函子F 的自然变换与集合F(X) 的元素一一对应。

在我们的例子中，X = Bool 和 F = Maybe，所以我们得到

Nat(Hom(Bool,_),Maybe) = Maybe Bool

Maybe Bool 正好包含三个元素：Just True、Just False 和Nothing，它们对应于答案开头的实现。