幺半群和函子之间有什么关系？答案

【问题标题】：What is the relationship between a monoid and a functor?幺半群和函子之间有什么关系？
【发布时间】：2019-10-27 20:07:19
【问题描述】：

我试图理解函子和幺半群之间的关系。它们经常被一起提到，但我无法将这些点联系起来。

我明白，简单地说，在编程中，monoid 可以被认为是一种结构或数据类型，具有用于组合结构中的元素的关联 append/concat 函数以及一个恒等元素，如果你以交换方式组合结构中元素的标识值将始终返回相同的元素。

我还认识到，在编程中，仿函数可以被认为是一个类似于集合的结构，其映射操作类似于Array.prototype.map()。

谁能帮我看看这里的大局？另外，如果我对这些概念的理解有任何遗漏，请随时告诉我。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这两个术语都来自范畴论一个数学分支，该分支研究元素的分类、它们之间的关系以及元素之间函数的可组合性。这门学科在函数式编程中具有强大的影响力，因此这些术语通常出现在有关这些范式的讨论中。

实际上，函子和幺半群术语在编程中的翻译如下：

Functor 保留了两个不同类别的元素之间的结构和关系，这意味着 Functor 是一种“结构”，它提供了一个元素的构造函数。（保留结构，因为每个元素都被映射到另一个分类的一个元素）和一个映射函数（保留将原始分类的每个函数映射到目标函数的关系“函数”）

Monoid 它是一个内函子（起点和目标类别相同的函子），它定义和标识操作和关联操作，例如，列表是一个幺半群，因为它定义了一个标识操作（空列表) 和关联操作（追加）

【讨论】：

【解决方案2】：

函子是类别之间的结构保持转换。

它

类似于类别之间的同态。

在Haskell等FP语言中，Functor类的定义分为两部分：

class Functor f where 
  fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

f 类型将对象（Haskell 类型）映射到同一类别中的其他对象（Haskell 类型）。它将a 映射到f a。

一个幺半群（semigroups 有身份）

在 Haskell 中定义如下

class Semigroup s => Monoid s where
  mempty  :: s
  
  mappend :: s -> s -> s
  mappend = (<>)

它们是两个不同的事物但是

他们经常被一起提到，但我一直没能完全连接点。

他们经常被一起提到是因为另一个事物，一个Monad。

monad（内函子中幺半群或幺半群的特殊情况）是

本质上结合了这两个概念。

在 Haskell 中

(>>=)       :: m a -> (a -> m b) -> m b
(>>)        :: m a -> m b -> m b
return      :: a -> m a

暗示

fmap f m  =  m >>= return . f

更简洁地说，

monad 只是 monoid 属于 endofunctors 范畴，有什么问题？

您可能已经看到在 FP 论坛上开玩笑地使用它。这是一个版本的

X 中的单子只是 X 的内函子范畴中的一个幺半群

最初来自 Mac Lane 的工作数学家类别。

【讨论】：