在无根树中查找多个 LCA答案

【问题标题】：Find multiple LCAs in unrooted tree在无根树中查找多个 LCA
【发布时间】：2014-08-18 20:54:58
【问题描述】：

我正在尝试为无根树实施 LCA。我给出了一个树（一个无环的连通无向图）和一系列关于 LCA 的查询，用于一些根和两个顶点。每个特定查询都可以有不同的根，所以我不能使用在开始时为任意根预处理树的算法。

到目前为止，我已经尝试使用 DFS 找到从两个顶点到根的路径，然后检查它在哪里发散，但它有点慢（O(nq)，其中 q 是查询数）。

有什么建议如何预处理树以使查询具有亚线性复杂性？

【问题讨论】：

在这种情况下，LCA 到底是什么意思？ LCA 的“最低”部分通常可以从树的根性中推断出来，但没有它我不确定它是否定义明确。你能举一两个例子吗？
T 中 v 和 w 的 LCA 是离根最远的 v 和 w 的共享祖先。在每个查询中，我都给出了一个顶点，它是这个特定查询的树的根，所以我计算 LCA 就像树根植于这个顶点一样。问题的困难在于树可以针对不同的查询以不同的顶点为根，因此我无法针对任何特定的根对其进行预处理，并且无法在树节点中存储例如指向父节点的指针，因为父节点的含义可以改变在下一个查询中。
感谢您的澄清！确认一下，您的查询是 LCA(u, v, r) 的形式，意思是“如果树以 r 为根，u 和 v 的 LCA 会是什么？”
是的，这正是我的意思。

【解决方案1】：

令 LCA(u, v, w) 是 v 和 w 关于根 u 的 LCA。为了计算 LCA(u, v, w)，我们可以计算，对于任何固定的 r，

LCA(r, u, v)
LCA(r, u, w)
LCA(r, v, w)

并取出“奇怪的人”，即如果两个相等而第三个不同，则取第三个，否则它们都相等，所以取那个节点。

【讨论】：

【解决方案2】：

以任意顶点为根并对树进行 LCA 预处理。对于每个查询 (u,v) 和 r 作为根，设 w 是树中 u 和 v 的 LCA。

【讨论】：