确定算术级数的时间复杂度答案

【问题标题】：Determine time complexity of arithmetic progression确定算术级数的时间复杂度
【发布时间】：2020-04-17 13:26:31
【问题描述】：

我是分析时间复杂度的新手。有人可以帮我解决以下算法的时间复杂度吗？

public void test(int n)
{
  for(int i=1;i<=n;i=i+2)
    {
     for(int j=1;j<=i;j++)
     {}
    }
}

外循环将运行 n/2 次。内循环将运行 (1+3+5+7+9...n) 次。内循环的时间复杂度是多少？我们如何计算这种算术级数的总和？

【问题讨论】：

标签： time-complexity big-o complexity-theory

【解决方案1】：

假设 n 是奇数。然后对于一些 k，n = 2k + 1。现在

  1 + 3 + … + n
= 1 + 3 + … + 2k+1
= (1 + 3 + … + 2k + 1) + (1 + 1 + … + 1) - (1 + 1 + … + 1)
= (1 + 1) + (3 + 1) + … + (2k + 1 + 1) - (1 + 1 + … + 1)
= 2 + 4 + … + 2k+2 - (1 + 1 + … + 1)
= 2(1 + 2 + … + k+1) - (1 + 1 + … + 1)
= 2(k+1)(k+2)/2 - (k+1)
= k^2 + 3k + 2 - k - 1
= k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2
= (n+1)^2/4

我们可以测试几个词...

n    f(n)    Series Sum
1    1       1 = 1
3    4       1 + 3 = 4
5    9       1 + 3 + 5 = 9
7    16      1 + 4 + 5 + 7 = 16

看起来它检查出来了。

【讨论】：

你写了 n=2k+1。在这种情况下，k 是多少？
如果系列是 1+5+9+13..n。我们是否有任何通用公式来计算它们的总和以确定其时间复杂度？
@nayak0765 k 是 n/2 向下舍入假设 n 是奇数，这是我从问题中推断出来的。对于第二个问题，让 n = 4k + 1，加减 3 + 3 + ... + 3 = 3k，从 4 + 8 + ... + 4k+4 中分解出 4，按照代数的答案进行简化。