【问题标题】：Boolean operators and Induction [closed]布尔运算符和归纳[关闭]
【发布时间】：2020-02-14 22:51:48
【问题描述】：
让@表示由下面右侧定义的二进制布尔运算符：
p@q = (p ^ ¬q)
(b) 运算符集 {@, ¬} 是否完整？详细解释一下。
(c) 通过归纳证明，在单个命题变量 p 中仅使用布尔运算符 @（或根本不使用运算符）的任何命题公式是等价的
真值 False 或单个命题变量 p。解释一下。
【问题讨论】：
标签：
logic
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induction
boolean-algebra
【解决方案1】：
(b) 是的。
- ~(p @ q) = ~(p & ~q) = ~p | q = p -> q。
- p @ ~q = p & ~~q = p & q。
- ~(~p @ q) = ~(~p & ~q) = ~~p | ~~q = p |问。
(c) 归纳证明可能如下所示：
基本情况：p 等价于 p，而 p @ p 为 False，因为 p & ~p 是矛盾的。
归纳假设：假设长度为 k 的所有命题仅包含 p 和 @ 的运算等价于 p 或 False。
归纳步骤：每个只包含 p 和 @ 的命题都可以分解为 ((x) @ (y)) 形式的公式，其中 x 和 y 是长度小于或等于 k 的公式。根据归纳假设，x 和 y 都等价于 p 或 False。有四种情况：
- x = p, y = p;然后 x @ y = False，根据需要；
- x = p，y = 假；然后 x@y = p，根据需要；
- x = False, y = p: 那么x @ y = False，根据需要；
- x = False，y = False：然后 x @ y = False，根据需要。
在所有四种情况下，我们发现 ((x) @ (y)) 必须等价于 p 或 False。