算法：限制范围内的数字异或

Question

假设我们有一个数字 n。 我们需要找到位于 [L, R] 范围内的值 S ^ (S+n) 的数量。 （其中 S 是任何非负整数，^ 是按位异或运算符）。

如果 n 是 2 的幂，我可以轻松做到这一点（它们有一个非常有用的模式）

我不确定如何为任何一般的 n 解决这个问题。 有什么建议吗？

编辑：

n 也是一个非负整数。 n、L、R 均小于 10^18。

这是我在某个练习测试中给出的一个编程问题，我只是记得今天在 StackOverflow 上看到了一个类似的问题。

编辑 2： 举例说明， 说 n = 1。 然后我们知道 S ^ (S + 1) 将始终具有全为的二进制表示。例如：1,3,7,...

所以解决这个问题很容易，我们只需要在 [L,R] 范围内计算此类数字的数量就可以了。

对于 n = 2 的任何幂，类似的方法都有效。但是如果 n 不是 2 的幂，我不知道该怎么办。

Answer 1

让C(n) 成为（无限）一组数字，对于某些S，可以写成S ^ (S + n)。

我们在集合C(n)上有以下递归关系：

• 如果n = 2k是偶数，那么C(n) = {2x : x in C(k)};
• 如果n = 2k + 1 是奇数，那么C(n) = {2x + 1 : x in C(k)} union {2x + 1 : x in C(k + 1)}。

可以从这些关系推导出算法。更准确地说，可以从(C(n / 2), C(n / 2 + 1)) 推导出一对(C(n), C(n + 1))。请注意，上面的union 实际上是一个不相交的联合，因为C(n) 中的每个元素都与n 具有相同的奇偶性，因此C(k) 和C(k + 1) 不相交。

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递归关系的证明：

只需查看n 和S 的最后一个二进制数字。