完全排序矩阵

Question

在我的一次工作面试中被问到这个问题 -

M 是一个 2d n×n 矩阵，其中每一行每一列都被排序，并且所有矩阵元素都是不同的。我需要一个 O(n) 算法 - 给定索引 i, j, i0, j0 作为输入，计算 M 中小于 M[i, j] 且大于 M[i0, j0] 的元素数。我为此尝试了各种方法，但无法弄清楚。帮助将不胜感激。下一部分是在 O(nlogn) 的预期时间内找出 M 的中位数。

Answer 1

将矩阵视为一组行。在每一行中都有最小和最大有效值的索引。如果您知道这些索引，则可以在 O(1) 中计算该行中有效值的数量。 （有效是指 M[i,j] 和 M[i0,j0] 之间的值。）

现在，矩阵已排序。让我们取下限：(i,j)。

• 如果要查找上一行中最小有效值的索引，它必须位于 (i,j) 的右侧。这是因为正上方 (i,j) 必须有无效（太小）的值。

• 如果要在下一行中找到最小有效值的索引，它必须位于 (i,j) 的左侧（或正下方）。

因此，您最多需要在矩阵上走 2n 个“步”，才能找到每一行的下限索引。上限也是如此。所以你的步行是O(n)，那么计算每行有效值的数量是O(n)，因此总时间是O(n)。

使用此算法可以解决中位数问题。首先请注意，如果您计算前一个问题的解决方案，您可以使用每行中边界值的索引在线性时间内随机选择一个有效值。然后可以通过二等分算法计算中位数：

selection_find(M, i0,j0, i2,j2, K):
    # Find K-th smallest number between M(i0,j0) and M(i2,j2)
    # assumption: M(i0,j0)<M(i2,j2)
    N := number of values between M(i0,j0) and M(i2,j2)
    # assumption: k<N
    Pick at random i1,j1 so that M(i0,j0)<M(i1,j1)<M(i2,j2)
    L := number of values between M(i0,j0) and M(i1,j1)
    if L==K:
        The answer is M(i1,j1)
    if L<K:
        The answer is selection_find(M, i1,j1, i2,j2, K-L)
    if L>K:
        The answer is selection_find(M, i0,j0, i1,j1, K)

median_find(M):
    The answer is selection_find(M, 1,1, n,n, n²/2)

每一步都需要 O(N)。将有 O(log N²)=O(2log N)=O(log N) 步骤（每个步骤应将考虑的值减半）。因此总复杂度为 O(NlogN)。