【发布时间】：2012-02-22 11:48:36
【问题描述】：
如果我有布尔变量 a_1、a_2、..、a_n。如何使用多项式大小布尔表达式来表达设置为 true 的布尔变量的数量大于一些 k 的事实？ （指数很容易 - 只需编写 newton(n,k) 表达式）。
【问题讨论】：
标签： algorithm complexity-theory boolean-logic boolean-expression reduction
【发布时间】：2012-02-22 11:48:36
【问题描述】：
使用任何排序网络对布尔值进行排序。然后只取 (k+1)'th 排序的位，这会给你结果。
由于排序网络的每个元素都代表一对逻辑运算，因此您可以将此网络解释为逻辑表达式。使用良好的排序网络，这将为您提供具有 O(N*log2(N)) 操作的表达式。
【讨论】：
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就是这样！我只是没有说明，我需要 CNF 中的这个表达式（仍然是多项式）。你能想出一个排序网络的例子，它可以让我合理地简单地拥有它吗？
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CNF 使这个问题变得更加困难。我不知道任何给出 CNF 表达式的排序网络。而且，据我所知，在最坏的情况下，将任何表达式转换为 CNF 都会导致表达式的指数爆炸。我不知道任何既是 CNF 又是多项式的解决方案。这很可能是不可能的。
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嗯，这根本不是真的。人类手工提出的大多数实验都可以转换为CNF，而且每个图灵机都可以写成多项式复杂度的CNF表达式，所以如果我们使用一台机器进行排序，我们就会在多项式复杂度上进行转换。我所要求的只是排序网络，它很容易手动写出来，这样证明就很简单。
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每个已知的排序网络都会产生相同形式的表达式：交替的 AND 和 OR。因此，来自任何网络的表达都将同样简单（或同样不可能）转换为 CNF。我不能推荐任何特定的。如果选择操作数较少的简单网络，请尝试Batcher odd–even mergesort 或Bitonic sorter。我仍在思考为什么 CNF 不能是多项式的证明。
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好的，但是“你知道的大多数排序网络”碰巧是可以表达的，比如只有指数大小的规范表示的 sat 表达式，并不能证明所有排序网络都会有指数大小的范式，是吗？此外，我实际上找到了相当于 clique 的多项式 3-CNF 表达式（这是我最初的问题），我不确定排序网络的确切定义是什么，但我很确定我的表达式的子集可以用来写多项式大小的 3-CNF 排序网络。
令 t[i][j] 表示元素 a_1, .., a_i, j 其中设置为真。 现在我们可以清楚地看到
t[i][j] => (t[i-1][j] or (t[i-1][j-1] and a_i).
（因为任一变量已在 a_1、..、a_(i-1) 中设置，或者 a_i 已设置且 a_1、..、a_(i-1) 中有 j-1 个变量。 这是多项式大小表达式（围绕 n*k 个变量 t[i][j]，对于每个表达式，就像我上面写的那样）。那么如果 t[n][k] 为真，我们得到 n 个变量中至少 k 个为真。
参考 Evgeny 的回答， 为了按排序顺序（首先为真，然后为假）获取变量，我们查看序列 t[n][1], t[n][2], .. t[n][n].
【讨论】：