通过一些 3D 点拟合一条线

Question

早上好，

所以我拥有的是一堆 3D 点。 现在我只想在不将一个轴设置为零的情况下通过它拟合一条线！

我找不到任何东西，你能帮帮我吗？ （如果对我使用 Matlab 有帮助）

普通最小二乘拟合是一种选择吗？我刚刚读到它，现在还不清楚如何将它用于一条线。

Answer 1

假设你的分数是 Q1..Qn。我们可以通过线上的一个点 P 和一个指向该线的单位向量 u 来定义一条线。

在任何维度，我们都可以找到如下线。

给定一个点Q，那么直线上离Q最近的点是

Q^ = P + u'*(Q-P)*u

Q到直线的平方距离是Q到Q^的平方距离

dsq = || Q-Q^||^2 = ||(Q-P)||^2 - (u'*(Q-P))^2

找到最佳拟合线的一种方法是寻找使点与线的均方距离最小的线，即最小化

E = Sum{ j | ||(Q[j]-P)||^2 - (u'*(Q[j]-P))^2 }/n

一些相当乏味的代数表明这意味着

P = Sum{ j | Q[j]}/n -- ie the mean of the Qs

u 对应于C的最大特征值的C的特征向量，其中

C = Sum{ j | (Q[j]-P)*(Q[j]-P)'} -- the covariance of the Qs

所以找到 P 和 u 的练习是：

Compute P = Sum{ j | Q[j]}/n

Compute C = Sum{ j | (Q[j]-P)*(Q[j]-P)'}

对角化 C 并选择 u 作为最大特征值对应的特征向量。注意 C 是对称的，所以对角化应该不是问题。