为什么在计算递归过程的空间复杂度时不考虑堆栈帧大小？答案

【问题标题】：Why don't we consider stack frame sizes while calculation Space Complexity of recursive procedures?为什么在计算递归过程的空间复杂度时不考虑堆栈帧大小？
【发布时间】：2014-01-12 15:32:55
【问题描述】：

考虑Merge Sort 在包含n 元素的int Array 上的情况，我们需要一个额外的大小为n 的数组来执行合并。不过我们最终丢弃了额外的数组。所以归并排序的空间复杂度为O(n)。但是，如果您查看递归 mergeSort 过程，则在每次递归调用 mergeSort(something) 时都会将一个堆栈帧添加到堆栈中。它确实需要一些空间，对吗？

public static void mergeSort(int[] a,int low,int high)
{
    if(low<high)
    {
        int mid=(low+high)/2;
        mergeSort(a,low,mid);
        mergeSort(a,mid+1,high);
        merge(a,mid,low,high);
    }
}

我的问题是：

为什么我们不考虑堆栈帧的大小，而计算合并排序复杂度？
是不是因为栈只包含了几个整数变量和一个参考，不会占用太多内存？
如果我的递归函数创建了一个新的本地数组怎么办（比如说int a[]=new int [n];）。那么在计算空间复杂度时会考虑它吗？

【问题讨论】：

2.是1的正确答案。至于3，是。
请注意，数组不会在 Java 中的堆栈上。只有对数组的引用。
真的！在 JAVA 中只会有一个关于堆栈的引用。在空间复杂度中是否应该考虑该参考的大小？
参考大小为O(1)；对于归并排序，堆栈帧数 = 递归深度是对数的 O(log n)。仅当您设法使merge 在空间中成为 O(1)（即就地合并）时，这才重要。那么是的，而不是 O(1) 算法，你将有 O(log n) 算法，空间方面。
@WillNess 你是对的，但正如答案中所指定的，所有堆栈帧不会同时存在于堆栈中。它们在程序执行过程中不断减少和增加。

标签： java arrays algorithm recursion space-complexity

【解决方案1】：

绝对应该考虑堆栈消耗的空间，但这里有些人可能不同意（我相信有些算法甚至会提出复杂性声明而忽略了这一点 - 有一个关于基数排序的未回答的相关问题在某处浮动）。

由于我们在每次递归调用时将数组一分为二，因此堆栈的大小将为O(log n)。

因此，如果我们将其考虑在内，总空间将为O(n + log n)，即O(n)（因为，在大O 表示法中，我们可以丢弃渐近更小的项），所以它不会改变复杂性。

对于创建本地数组，类似的参数也适用。如果你在每一步都创建一个本地数组，你最终会得到O(n + n/2 + n/4 + n/8 + ...) = O(2n) = O(n)（因为，在大O表示法中，我们可以丢弃常数因子），所以这也不会改变复杂性。

【讨论】：

会有n对mergeSort()的递归调用，每个栈帧的大小都是一样的，不是吗？
@AmanArora 每个堆栈帧的大小将是相同的，并且会有O(n) 递归调用，但它们不会同时都在堆栈上 - 想象一棵二叉树，其中root 的大小为n，每个子节点的大小是父节点的一半 - 虽然整个树可能有 O(n) 节点，但如果你遍历这棵树，你只会深入到树的最大深度，即O(log n) - 一旦你从任何节点返回，它就不再在堆栈上。
所以我的结论是“我们应该考虑堆栈帧大小？”
@AmanArora 那太完美了。但是，如果为了上课的目的，你也许应该问问你的讲师他/她的想法，然后照着做，以防止将来可能出现分歧/失分。

【解决方案2】：

因为您在执行此操作时并未计算空间复杂度。这就是所谓的确定：您正在做测试，并试图通过查看结果来得出空间复杂度的结论。这不是数学方法。

是的，您对陈述 2 的看法是正确的。

【讨论】：

对！但是为什么我们不在这些测试中考虑堆栈的大小呢？
如果你想确定空间复杂度而不是计算它，你可以考虑堆栈大小。