从 1d、3d 中的位置获取螺旋索引答案

【问题标题】：Get spiral index from location in 1d, 3d从 1d、3d 中的位置获取螺旋索引
【发布时间】：2020-10-22 13:10:50
【问题描述】：

基于已知的 {x,y,z,...} 坐标，我正在寻找位置的索引。提供了一个二维 (2d) 解决方案here。我现在正在尝试将其扩展到其他两个维度：1d 和 3d（并可能推广到更高维度）。

对于 1d，我最终得到了以下算法（Matlab 代码），其中步行在轴的右侧和左侧之间交替：

n = 20; %number of values
X = -n/2:n/2; %X values (1d)

%we want 'p' the index of the location:
for i=1:numel(X)
    if(X(i) > 0)
        p(i) = 2*X(i)-1;
    else
        p(i) = -2*X(i);
    end
end

产生以下索引：

但是，我很难将索引应该如何在 3d 中进行可视化（即索引如何通过 3d 中的节点）。我主要对 C/C++ 解决方案感兴趣，但任何其他语言都可以。

编辑反映 @Spektre cmets 和建议：我的目标是找到一组 3d 坐标 {x,y,z} 的索引。这可以看作是将 3d 坐标映射到一组索引 (1d) 的一种方式。螺旋提供了一种在 2d 中执行此类任务的便捷方式，但不能在 3d 中扩展。

【问题讨论】：

嗯，你的主要问题是你使用术语“螺旋”，它是 2D 对象/构造......我不认为它可以扩展到不同的维度（仍然被称为螺旋）。甚至您的 1D 也是有问题的（最好将其称为 1D 切割螺旋）。因此，要移动到 3D 或更多，您需要首先确定这些东西应该做什么：（用单折线/曲线覆盖（超）体积什么形状（弯曲，矩形）？但是这不会像螺旋线圈一样螺旋半径/尺寸增加的超球体/超立方体...
另外，您可能想研究 空间填充曲线，例如 2D/3D hilbert curve 可能与您想要实现的目标不同...那么什么图案/形状3D 你想描述更多吗？
@Spektre 感谢您提供有趣的链接。在超球面上均匀分布点可能会解决我的问题。但是，我的目标是找到反问题：即找到索引而不是位置 {x,y,z,...})，我需要这个 ot 快。更准确地说，我想将一组坐标 {x,y,z,...} 映射到 1D 中，螺旋索引在 2D 中提供了一种方便（而且非常快速）的解决方案。但是，正如您所说，这不能扩展到 nD，我将在主题中反映这一点。
@Spektre 回复非常有趣！我会去 cube_map 听起来很适合我的问题！谢谢你，准备好后我会标记你的答案。
我将 cmets 移入 answer 并添加了更多内容...我还稍微清除了 cmets... 另外我认为您应该在谷歌上搜索 butterfly shuffling 和索引/地址的位反转 ...我觉得他们可以在没有任何测角学的情况下轻松转换为您的模式（但它只是感觉所以我可能错了）

标签： algorithm

【解决方案1】：

以及您选择线/正方形/立方体状螺丝线圈来填充您的 1D/2D/3D 空间，如下所示：

我愿意：

实施line/square/cube 地图

这些将映射在一维索引ix 和已知“半径”的坐标之间。这将类似于：
- template<class T,int N> class cube_map
查看成员函数：ix2dir 和 dir2ix，它们在索引和方向向量之间进行映射。不需要存储表面数据你只需要这些转换函数。但是，您需要调整它们，以便点/索引的顺序代表您想要的模式......在 1D 中，2D 很容易，但对于 3D，我会选择类似于立方体上的表面螺旋之类的东西：
- How to distribute points evenly on the surface of hyperspheres in higher dimensions?
不要忘记以不同的方式处理 3D 中的偶数和奇数螺钉（镜像），以便螺钉在正确的位置连接...

为了完整起见，立方体贴图就像 3D 系统中的单个螺钉，它固定立方体的表面，并且可以在方向矢量 dir 和 1D 索引 ix 之间来回转换。它用于加速图形和几何中的算法......我认为它的第一个用途是用于 Bump Mapping 快速矢量归一化。通过使用 cube_map，您可以轻松地在任何维度上进行类比，甚至是 2D、1D，您只需使用 square_map 和 Line_map 而无需任何算法更改。在转换为立方体/正方形地图后，我在 OBB 2D/3D 上对其进行了测试，算法保持不变，只是向量具有不同数量的坐标（没有它们，算法非常不同）。
创建/导出方程/LUT，描述半径覆盖的点数（包括螺钉内部）

所以函数返回r 拧在一起的线圈中的点数。这将是一个系列，因此方程应该很容易推导/推断。让我们称之为：
```
points = volume(r);
```
现在转换ix -> (x,y,z...)

首先找出你的ix是哪个半径r：
```
volume(r) <= ix < volume(r+1)
```
简单的 for 循环可以，但更好的是 二分搜索 的 r。然后将您的ix 转换为线/正方形/立方体地图中的索引iy：
```
iy = ix-volume(r);
```
现在只需使用ix2dir(iy) 函数来获取您的点位置...

反向转换(x,y,z...) -> ix

r = max(|x|,|y|,|z|,...)
iy = dir2ix(x,y,z,...)
ix = volume(r-1) + iy

【讨论】：