四元数比较？答案

【问题标题】：Quaternion Comparison?四元数比较？
【发布时间】：2011-04-27 11:52:59
【问题描述】：

可以进行四元数比较吗？我正在编写一个四元数的 Java 类，我想实现 Comparable 接口以使用 Collections.sort(List<Quaternion>) 设施。我不是数学专家，我真的不明白我读到的关于四元数的东西。那么，谁能告诉我我可以覆盖四元数的compareTo 方法吗？

我的班级宣言：

public class Quaternion implements Serializable, Comparable<Quaternion> {

    private double s; // scalar part
    private double i, j, k; // vectorel part


    public Quaternion() {
        super();
    }

    public Quaternion(double s, double i, double j, double k) {
        super();
        this.s = s;
        this.i = i;
        this.j = j;
        this.k = k;
    }

【问题讨论】：

这是一道数学题，不是编程题。询问数学专家，如果您在实施该解决方案时遇到问题，请在此处寻求实施帮助。

标签： java math comparison comparable quaternions

【解决方案1】：

您可以通过比较其字段来实现 compareTo。但是，您需要确定您希望订单是什么样的。 AFAIK，对于复数之前或之后的内容没有标准定义，更不用说四元数了。

【讨论】：

【解决方案2】：

你当然可以比较它们；比较是否有意义还有待商榷。由于四元数可以用四个实数表示，因此您只需执行（伪代码）之类的操作

if (q1.a != q2.a)
    return q1.a - q2.a;
else if (q1.b != q2.b)
    return q1.b - q2.b;
else if (q1.c != q2.c)
    return q1.c - q2.c;
else
    return q1.d - q2.d;

由于值是实数，您可能会使用基于 epsilon 的比较，并且您需要将小的正负差转换为正整数和负整数。但你明白了。

【讨论】：

【解决方案3】：

没有理由不能比较两个四元数。假设您要比较幅度，计算并比较Quaternion Norms。您的四元数类应该有一个规范（幅度）方法，允许 toCompare 类似于以下内容：

int compareTo(Quaternion o){
  return (int)(this.norm() - o.norm());
}

更好的版本是：

int compareTo(Quaternion o){
  // return (int)(this.norm() - o.norm());
  double tNorm = this.norm;
  double oNorm = o.norm;
  int retVal = 0;

  if (tNorm < oNorm){
    retVal = -1;
  } else if (tNorm > oNorm){
    retVal = 1;
  }

  return retVal;
}

【讨论】：

我建议不要在compareTo 中使用-（因为可能会溢出）。使用< 或委托给Integer.compareTo。
是的，我已经实现了 norm 方法，这似乎是最有意义的比较。谢谢
你不应该比较四元数是有原因的：它们不能被排序。您可以定义如何比较两个四元数，但也有一些缺点。使用范数时最严重的是（正如 Klas 提到的）两个不相等的四元数可以有相等的范数。这也违反了definition of the compareTo-method，它规定只有当两个对象相等时它才应该返回 0。
@martin：你不在数学中比较四元数的真正原因是你不能有 (a a + c 0 and b > 0 => ab > 0) 因为这意味着 -1 0。这些公理需要对排序做任何有意义的事情。在树中存储四元数时，字典顺序非常好。但是我同意按规范进行比较是愚蠢的，因为它会默默地破坏许多依赖于 (not(a b) => a == b) 的算法。
-1 您的排序与equals不一致，不推荐用于Comparable接口的实现。

【解决方案4】：

四元数是一种 4 维向量。你想如何订购它们？最合理的方法是使用规范。

public int compareTo(Object o) {
  if (o instanceOf Quaternion) {
    // Compute the difference between the square of the norm
    double result = s*s + i*i + j*j + k*k - o.s*o.s - o.i*o.i - o.j*o.j - o.k*o.k;
    if (result > 0) { return 1; }
    if (result < 0) { return -1; }
    return 0;
  }
}

请注意，使用范数会使长度相等但指向不同方向的四元数相等，并且某些算法将无法区分它们。排序算法很可能会丢弃“重复项”。只是一个友好的警告。

【讨论】：

【解决方案5】：

将四元数视为四个浮点数的元组（有序列表）。定义相等性非常简单，但是您将如何定义总顺序？换句话说，你想如何定义两个四数序列之间的大于关系？

事实上，即使是复数之间也没有共同的大于关系，四元数可以被认为是一对复数。简单的比较只能在一维空间中进行。复数是二维的，四元数 - 四个。

【讨论】：

【解决方案6】：

你可以，但我认为你不应该。

参数与复数相同。给定两个四元数，它们要么相等，要么不相等，没有办法说哪个大于另一个。四元数形成一个除法代数，它是无序的（不像实数的领域）。我能想到的唯一（合理）方法是使用范数来比较两个四元数。

double norm = Math.sqrt(s*s + i*i + j*j + k*k);

在这种情况下，您可以定义，即四元数 a 大于四元数 b 如果 a 大于 b 的范数。但这绝对不是一个标准定义。我会小心地使四元数或复数具有可比性。但是，这取决于您的用例。请注意，没有对此类数字进行排序的标准方法。

查看这个google search 以获得一些关于比较复数的好链接。四元数的论证基本相同。

比较四元数的另一种方法是使用lexicographic order。

【讨论】：

论点很简单。我们这里不需要的有序环公理 (en.wikipedia.org/wiki/Ordered_ring) 暗示如果 i > 0，i * i > 0，所以 -1 > 0。但是 1 > 0，因为 1 = 1 * 1 因此 0 > -1（通过在两侧添加 -1）。另请注意，如果 -1 不是平方和，则对字段进行排序。

【解决方案7】：

四元数或复数没有数学标准排序。

您可能仍然希望实现Comparable 接口，以便方便地对它们进行排序并将它们存储在TreeSet 和TreeMap 集合中。

为了明确排序是任意的，我将使用四元数组件的字典组合。这也确保了排序与equals 一致，并且算法按预期工作。

对于更自然的排序，例如考虑规范的排序，您始终可以显式定义一个比较器。

【讨论】：

请记住，如果您想在该树中查找一个四元值，并且它与树中已有的不完全匹配，您很容易在一个叶节点旁边结束不是“最接近”的值（通过距离度量）。很容易有一个叶子节点，它通过距离度量更接近，但在词汇排序顺序上却有一些距离。所以它提出了如何使用结构的问题，因为浮点计算总是有一些“模糊”......
一旦你有两个或更多维度，你就无法避免这种情况。您可以做的最好的事情是相反，这样在您的排序中接近的值在空间中也接近，通过一些空间归档曲线。例如，在二维空间中的应用是先按与某个选定点的距离排序，然后按字典顺序打破关系（“给我找一家靠近 P 的酒店”）。