寻找 DFA 的补码？

Question

我被要求展示 DFA 图和 RegEx 以作为 RegEx (00 + 1)* 的补充。在上一个问题中，我必须证明 DFA 的补码是封闭的并且也是一个正则表达式，所以我知道要将 DFA M 转换为补码 M`，我只需要交换初始接受状态和最终接受状态。

但是，RegEx 的初始接受状态似乎是{00, 1, ^}，最终接受状态也是{00, 1, ^}。因此，交换它们只会导致完全相同的 RegEx 和 DFA，这似乎是矛盾的。

我做错了什么还是这个 RegEx 应该没有真正的补充？

谢谢

Answer 1

正如你所说的：

我知道要将 DFA M 转换为补码 M`，我只需要交换初始接受状态和最终接受状态。

它的不是补充，但你正在做的事情类似语言的反向和regular languages are closure under reversal.

DFA 的反转

什么是反转语言？

语言 L（表示为 L^R）的反转是由以下组成的语言 L中所有字符串的反转。

假设对于某个 FA A，L 是 L(A)，我们可以为 L^R 构造一个自动机：

• 反转转换图中的所有边（弧）

• L^R 自动机的接受状态是 A 的开始状态

• 为新自动机创建一个新的开始状态，并将 epsilon 转换为 A 的每个接受状态

注意：通过颠倒所有箭头并交换 DFA 的初始状态和接受状态的角色，您可能会得到 NFA。
_{这就是我写 FA（而不是 DFA）的原因)}

补充 DFA

找到 DFA 的补集？

Defination: 语言的补码是根据与 Σ*（sigma 星）的集差来定义的。即 L^' = Σ^* - L.

而 L 的补码语言 (L^') 包含来自 Σ*（sigma 星）的所有字符串，除了 L 中的字符串。Σ* 是所有可能的字符串字母表 Σ。
_{Σ = 语言符号集}

要构造接受 L 的补码的 DFA D，只需转换 将 A 中的每个接受状态转换为 D 中的非接受状态并转换 A 中的每个非接受状态都变为 D 中的接受状态。
（警告！NFA 的情况并非如此）

_{A是L的DFA，D是补码}

注意：要构建补充 DFA，旧 DFA 必须是一个完整的手段，每个状态都应该有所有可能的出边（或者换句话说 δ should be a complete function）。

Complement: reference with example

为正则表达式补充 DFA (00+1)*

下面是名为A的DFA：

但不是这个 DFA 不是完整的 DFA。转换函数 δ 已部分定义，但未针对完整域 Q×Σ 定义（缺少标签 1 的 q1 的边缘）。

其完整的DFA可以如下（A）：

在上面的 DFA 中，定义了所有可能的事务（*对于每对 Q,Σ *），δ 在这种情况下是一个完整的函数。

Reff: to learn what is Partial Function.

可以通过将所有最终状态 q0 更改为非最终状态来构造新的补码 DFA D，反之亦然。

所以补充q0 成为非最终状态，q1, q2 是最终状态。

现在您可以使用我给出的ARDEN'S THEOREM and DFA 为补语编写正则表达式。

这里我直接写正则表达式补码：

(00 + 1)*0(^ + 1(1 + 0)*)

^ 是空符号。

一些有用的链接：
通过here 和我的个人资料，您可以在 FA 上找到更多有用的答案。另外，关于常规语言属性的两个很好的链接：one、second