有多少个有效的括号组合？

Question

我们有：

• n1{} 括号的数量，

• n2() 括号的数量，

• n3[] 括号的数量，

这些括号有多少种不同的有效组合？

我的想法：我用java写了一个蛮力代码（下面有）并计算了所有可能的组合，我知道这是可能的最糟糕的解决方案，

（代码是针对一般情况，我们可以有不同类型的括号）

任何数学方法？

注 1：有效组合通常定义，例如{{()}}：有效，{(}){}：无效

注 2：假设我们有 2 对 {} ，1 对 () 和 1 对 []，有效组合的数量为 168 和所有可能的数量（有效和无效) 组合为 840

static void paranthesis_combination(char[] open , char[] close , int[] arr){
    int l = 0;
    for (int i = 0 ; i < arr.length ; i++)
        l += arr[i];
    l *= 2;
    paranthesis_combination_sub(open , close , arr , new int[arr.length]  , new int[arr.length], new StringBuilder(), l);
    System.out.println(paran_count + " : " + valid_paran_count);
    return;
}


static void paranthesis_combination_sub(char[] open , char[] close, int[] arr , int[] open_so_far , int[] close_so_far, StringBuilder strbld , int l){
    if (strbld.length() == l && valid_paran(open , close , strbld)){
        System.out.println(new String(strbld));
        valid_paran_count++;
        return;
    }
    for (int i = 0 ; i < open.length ; i++){
        if (open_so_far[i] < arr[i]){
            strbld.append(open[i]);
            open_so_far[i]++;
            paranthesis_combination_sub(open , close, arr , open_so_far , close_so_far, strbld , l);
            open_so_far[i]--;
            strbld.deleteCharAt(strbld.length() -1 );
        }
    }
    for (int i = 0 ; i < open.length ; i++){
        if (close_so_far[i] < open_so_far[i]){
            strbld.append(close[i]);
            close_so_far[i]++;
            paranthesis_combination_sub(open , close, arr , open_so_far , close_so_far, strbld , l);
            close_so_far[i]--;
            strbld.deleteCharAt(strbld.length() -1 );
        }
    }
    return;
}

Answer 1

Cn 是第 n 个加泰罗尼亚数字 C(2n,n)/(n+1)，并给出仅使用 () 的长度为 2n 的有效字符串的数量。因此，如果我们将所有[] 和{} 更改为()，就会有Cn1+n2+n3 方式。然后有C(n1+n2+n3,n1)方法将n1()改回{}，C(n2+n3,n3)方法将剩余的()改成[]。综上所述，有C(2n1+2n2+2n3,n1+n2+n3)C(n1+n2+n3,n1)C(n2+n3,n3)/(n1+n2+n3+1) 方式。

作为检查，当n1=2、n2=n3=1 时，我们有C(8,4)C(4,2)C(2,1)/5=168。

Answer 2

一般来说，无限。但是我假设，您的意思是找到有多少组合提供了有限的字符串长度。为简单起见，我们假设极限是偶数。然后，让我们创建一个初始字符串：

(((...()...))) 长度等于限制。

然后，我们可以用 [] 或 {} 括号切换 () 对的任何实例。但是，如果我们更改左大括号，那么我们应该更改匹配的右大括号。因此，我们只能查看左大括号或成对。对于每个括号对，我们有 4 个选项：

• 保持不变

• 将其更改为 []

• 将其更改为 {}

• 删除它

因此，对于 (l/2) 个对象中的每一个，我们从四个标签中选择一个，给出： 4^(l/2) 个可能性。

编辑：这假定只有“同心”括号字符串（彼此包含），正如您在编辑中所建议的那样。然而，直观地说，有效的组合也是：()[]{} - 此解决方案没有考虑到这一点。