找到一个分区，使得分区总和的最大值与最小值之间的差异最小化

Question

我正在解决算法研究的实践问题，并为以下问题寻找最快的实现。

给定一个长度为N的正一位整数列表L，在L中定义三个点A、B和C，以便列表分为三个分区。请注意，A < B < C 在索引方面。第一个分区是A和B之间的所有元素，第二个分区是B和C之间的所有元素，第三个分区是所有其他元素。

然后让h、i和j成为每个分区的总和。我想在所有可能的分区中找到max([h, i, j]) - min([h, i, j]) 的最小值。

例如，如果L = [4, 5, 6, 7, 6, 5, 4]，那么分份将是

a = [6, 7]
b = [6, 5]
c = [4, 5, 4] # reminder 

# because
h = sum(a) -> 13
i = sum(b) -> 11
j = sum(c) -> 13

# that minimize the difference
max([h, i, j]) - min([h, i, j]) -> 2

我目前想出的唯一方法是暴力破解所有可能的分区，以便

current_min = sum(L)
N = len(L)

for A in range(N):
    for B in range(A, N):
        for C in range(B, N):
            sum_1 = sum(L[A:B])
            sum_2 = sum(L[B:C])
            sum_3 = sum(L[:A]) + sum(L[C:])
            sums = [sum_1, sum_2, sum_3]
            if max(sums) - min(sums) < current_min:
                current_min = max(sums) - min(sums)

但我可以看到我的解决方案并不理想。有没有更快的方法？

Answer 1

这是一种方法，您可以计算总和。计算总和的 1/3。现在遍历列表并继续将元素添加到 sum1 直到它刚刚超过总和的 1/3（检查是否至少保留 2 个元素）。这使得 1 个分区。现在类似地，继续将元素添加到 sum2 直到它刚好超过总和的 1/3。其余元素构成分区 3。

现在你可以以相反的顺序重复这个过程，看看哪一组 max([h, i, j]) - min([h, i, j]) 给出最小值。

这个想法是保持分区总和之间的差异尽可能小。这将自动确保总和的最大值和最小值之间的差异最小。