%mod 兼容的生成二项式系数的方法答案

【问题标题】：%mod compatible ways of generating Binomial Coefficients%mod 兼容的生成二项式系数的方法
【发布时间】：2012-02-20 23:58:43
【问题描述】：

我想优化我的程序的一部分，我正在计算高达 K 的二项式系数的总和。即

C(N,0) + C(N,1) + ... + C(N,K)

由于值超出了数据类型（long long）可以支持的范围，我将计算值 mod M 并正在寻找执行此操作的程序。

目前，我已经使用 Pascal 的三角形完成了它，但它似乎需要一些负载。所以，我想知道是否还有其他有效的方法可以做到这一点。我考虑过卢卡斯定理，尽管我的 M 已经足够大，以至于 C(N,k) 失控了！

任何关于我如何以不同方式执行此操作的指针，也许可以用其他一些简洁的总和表达式来计算整个总和。如果不是，我将把它留给 Pascal 的三角形方法本身。

谢谢，

这是我目前所拥有的O(N^2)：

#define MAX 1000000007
long long NChooseK_Sum(int N, int K){
    vector<long long> prevV, V;
    prevV.push_back(1);     prevV.push_back(1);
    for(int i=2;i<=N;++i){
            V.clear();
            V.push_back(1);
            for(int j=0;j<(i-1);++j){
                    long long val = prevV[j] + prevV[j+1];
                    if(val >= MAX)
                            val %= MAX;
                    V.push_back(val);
            }
            V.push_back(1);
            prevV = V;
    }
    long long res=0;
    for(int i=0;i<=K;++i){
            res+=V[i];
            if(res >= MAX)
                    res %= MAX;
    }
    return res;
}

【问题讨论】：

我一直使用 Pascal 的三角形，我认为你很快就会遇到舍入错误，尤其是 32 位整数，但它在第 20 行之前运行良好，所以很适合我的需要。
N、K和M的大概取值范围是多少？另外，你能读懂 SML-caml-F# 吗？如果对你有用的话，我有 F# 中的代码。
如果K 比N 小很多，你可以通过在K 停止内循环来获得相当多的收益，如果K 接近N，通过停止在N-K 并使用所有二项式系数之和为2^N 的事实。但是，如果您真的需要快速，部分 deux 的建议（使用模逆）可以在 O(K*log(min(K,MAX))) 步骤中为您提供总和（模 MAX）。（如果K >= MAX，则需要小心。）
你绝对可以通过将向量更改为静态数组来做得更好。可能会花费太多时间来分配。
@kkm - 恐怕我不了解 SML-caml-F#，但欢迎您使用此处的方法编写代码。 1

标签： c++ algorithm binomial-coefficients

【解决方案1】：

执行线性数量的算术 bignum 操作的算法是

def binom(n):
    nck = 1
    for k in range(n + 1):  # 0..n
        yield nck
        nck = (nck * (n - k)) / (k + 1)

这使用除法，但以素数 p 为模，您可以通过将解 i 乘以方程 i * (k + 1) = 1 mod p 来完成大致相同的事情。 i 的值可以通过 extended Euclidean algorithm 在算术运算的对数中找到。

【讨论】：

是的，谢谢，这应该很顺利。帕斯卡三角形中的加法效果还可以，但是在这种方法中使用除法，我有点希望在 mod ring 中必须有一些东西来理顺它。感谢您指出模逆和外欧几里得。