在 N 维矩阵中找到大于 x 的值，其中 x 是索引的总和答案

【问题标题】：find the values greater than x in N dimensional Matrix, where x is sum of index在 N 维矩阵中找到大于 x 的值，其中 x 是索引的总和
【发布时间】：2012-09-24 11:49:25
【问题描述】：

给定一个 N 维矩阵 [m][m][m]..n 次，其中值位置包含其索引的值总和.. 例如在 6x6 矩阵A 中，A[3][4] 位置的值将为 7。

我们必须找出大于 x 的元素的总数。 对于二维矩阵，我们有以下方法：

如果我们知道一个索引说[i][j] {i+j = x}，那么我们只需执行[i++][j--] 的[i--][j++] 来创建对角线，并限制i 和j 始终在0 到m. 的范围内例如，在值 A[3][4] (x = 7) 的二维矩阵 A[6][6] 中，可以通过以下方式创建对角线：

A[1][6] -> A[2][5] -> A[3][4] -> A[4][3] -> A[5][2] -> A[6][2]

在这里，我们将问题转化为另一个问题，即计算对角线以下的元素，包括对角线。 我们可以很容易地计算O(m) 复杂度而不是花费O(m^2) 其中2 是矩阵的顺序。但是如果我们考虑 N 维矩阵，我们将如何做，因为在 N 维矩阵中，如果我们知道那个位置的索引，其中索引总和为x 说A[i1][i2][i3][i4]....[in] 次。那么可能有多个满足该条件的对角线，例如通过i1-- 我们可以增加{i2, i3, i4....in} 中的任何一个

因此，上述用于二维矩阵的方法在这里变得无用......因为只有两个变量 i1 和 i2 存在。请帮我找到解决办法

【问题讨论】：

我可能没有正确理解，但您似乎在问这个问题：给定 x、n（维数）和 N，您可以通过多少种方式对 0 到 0 之间的 n 个整数求和N 得到大于 x 的值。

标签： algorithm matrix permutation combinations

【解决方案1】：

对于 2D：对角线以下元素的计数为 triangular number。

对于 3D：对角线平面下方的元素数为 tetrahedral number

注意第K个四面体数是前K个三角形数的和。

对于 nD：n-simplexial（我不知道确切的英文术语）数字（是第一个 (n-1)-simplexial 数字的总和）。

第K个n-单纯形的值为

 S(k, n) = k * (k+1) * (k+2).. (k + n - 1) / n! = BinomialCoefficient(k+n-1, n)

编辑：此方法“按原样”适用于主对角（超）平面下方的有限 X 值。

生成函数方法：让我们有多项式

A(s)=1+s+s^2+s^3+..+s^m

那就是n次方
B(s) = Aⁿ(s) 有一个重要的性质：s 的 k 次方系数是从 n 个和数组成 k 的方法数。所以第 n 个到第 k 个系数的总和给了我们第 k 个对角线以下元素的计数

【讨论】：

【解决方案2】：

对于二维矩阵，您将问题转换为另一个问题，即count the elements below the diagonal including the diagonal。

尝试将其可视化为 3-d 矩阵。如果是3维矩阵，问题会归结为另一个问题，就是count the elements below the diagonal plane including the diagonal

【讨论】：