通过节点找到最佳组合或路径的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find best combination or path through nodes通过节点找到最佳组合或路径的算法
【发布时间】：2016-06-17 10:48:42
【问题描述】：

由于我对各种优化/树算法不是很精通，我正在寻求帮助。

问题描述：

假设，给定一个大序列的排序节点，每个节点代表一个整数值 L。L 总是随着每个节点变得越来越大，并且没有节点具有相同的 L。
现在的目标是找到节点的最佳组合，其中后续节点的 L 值之间的差异最接近于在 L 上变化的给定整数值 M(L)。

示例：

所以，一开始我会有 L = 50 和 M = 100。接下来的节点有 L = 70,140,159,240,310。

首先，159 的值似乎最接近 L+M = 150，因此选择它作为正确的值。但是，在下一步中，仍然给出 M=100，我们注意到 L+M = 259，与 240 相差甚远。如果我们现在返回并选择 L=140 的节点，然后是 240，则 M 值和 L-差异之间的整体匹配更强。该算法应该能够找到最佳路径，即使在此过程中出现了错误。

一些附加信息：

1) 起始节点不一定是最佳组合/路径的一部分，但如果需要，可以首先开发一种算法，选择最佳起始候选者。
2) 节点的最佳组合遵循排序顺序而不是“跳回”-> 所以 1,3,5,7 是可能的，但不是 1,3,5,2,7。
3）最后，选择节点的L值之间的差异应该在均方意义上最接近M值

非常感谢每一个帮助！

【问题讨论】：

您的条件（3）对于传达您正在尝试做的事情很有用，这似乎是：从n个节点的序列中，选择k个节点位置x_1的子序列（允许间隙）， ..., x_k 使得 1
您好，您在从文本中提取重要信息方面做得非常好，谢谢。你写的一切都是准确的。我还注意到算法的问题，然后减少了节点的数量。我所能做的就是估计应该考虑的节点数量。但是，这只是正确节点数的（相对较好的）近似值。因此，一个额外的约束可能是考虑这个值，例如将节点数限制为大于最小值。
好，这正是我的建议，我的回答解决了问题:)

标签： algorithm matlab tree combinations

【解决方案1】：

如果我正确理解您的问题，您可以使用 Dijktras 算法：

https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/20025-dijkstra-s-minimum-cost-path-algorithm

为此，您必须了解每个节点的邻居并创建邻接矩阵。通过我在上面发布的 Dijktras 算法的实现，您可以指定边权重。您可以指定您的边权重，即它是访问的节点的 L + M。因此，对于每个节点组合，您都有新节点的 L + M。这样，算法应该找到节点之间的最佳路径。要获得所有边组合，您可以使用 Matlabs 图形函数：

http://se.mathworks.com/help/matlab/ref/graph.html

如果我正确理解您的问题，您需要一个无向图。您可以使用命令访问所有边缘创建图表后的 G.Edges。

我知道这不是完美的答案，但我希望它有所帮助！

P.S. 请注意，Djikstras 算法只能处理正边权重。

【讨论】：

谢谢，非常感谢您的帮助！目前，我正在遵循 j_random_hacker 解决方案的路线，这似乎与 Dijkstra 算法 (?) 非常相似，但可能仍会考虑您的提示。有趣的是，虽然与优化算法几乎没有任何关系，但我曾经计算过 Floyd Warshall 算法来完成一项微不足道的任务，但不知何故想不出这个问题的应用程序。

【解决方案2】：

假设给定一个数字 M 和一个由 n 个数字组成的列表 L[1], ..., L[n]，并且我们想要找到至少 q 个后一个数字的子序列，以使总和最小化关于 M 的平方误差 (SSE)，其中关于 M 的 k 个位置 x[1], ..., x[k] 的列表的 SSE 由下式给出

SSE(M, x[1], ..., x[k]) = sum((L[x[i]]-L[x[i-1]]-M)^2) over all 2 <= i <= k,

将 0 或 1 个位置列表的 SSE 定义为 0。

（我在这里引入参数 q 和对子序列长度的相关约束，因为没有它，总是存在一个长度正好为 2 的子序列，它实现了最小可能的 SSE——我猜这么短的序列对你没有帮助。）

这个问题可以用dynamic programming在O(qn^2)时间和O(qn)空间解决。

将 f(i, j) 定义为在以下约束条件下可实现的最小误差平方和：

位置 i 的数字被选中，并且是最右边的选中位置。（这里，i = 0 意味着没有选择任何位置。）
我们要求前 i 个数字中至少有 j 个（而不是 q）被选中。

还将 g(i, j) 定义为 f(k, j) 在所有 0

g(i>0, j>0) = min(g(i-1, j), f(i, j))
g(0, 0) = 0
g(0, j>0) = infinity

要计算 f(i, j)，请注意，如果 i > 0，那么任何解都必须通过将第 i 个位置附加到某个至少选择 j-1 个位置且其最右侧选定位置在左侧的解 Y 上来形成of i - 即其最右边的选定位置是 k，对于某些 k

由于这适用于任何 0

f(i>=j, j>=2) = min of (g(k, j-1) + (L[x[i]]-L[x[k]]-M)^2) over all 0 <= k < i
f(i>=j, j<2) = 0        # If we only need 0 or 1 position, SSE is 0
f(i, j>i) = infinity    # Can't choose > i positions if the rightmost chosen position is i

通过上述递归和基本情况，我们可以计算 g(n, q)，即整个问题的最小可能误差平方和。通过memoising values of f(i, j) and g(i, j)，计算所有需要的 f(i, j) 值的时间是 O(qn^2)，因为输入参数最多有 (n+1)*(q+1) 个可能的不同组合（ i, j)，并且计算 f(i, j) 的特定值需要选择 k 值的循环最多 (n+1) 次迭代，每次迭代在递归子调用之外花费 O(1) 时间。存储 f(i, j) 的解值最多需要 (n+1)*(q+1) 或 O(qn) 空间，对于 g(i, j) 也是如此。如上所述，当所有需要的 f(x,y) 值都已计算完毕时，g(i,j) 可以在 O(1) 时间内计算出来，因此 g(n,q) 可以以相同的时间复杂度计算。

要实际重构与此最小 SSE 对应的解，您可以以相反的顺序追溯 f(i, j) 的计算值，每次寻找在递归中达到最小值的 k 值 (通常可能有许多这样的 k) 值，将 i 设置为这个 k 值，并继续直到 i=0。这是一种标准的动态规划技术。

【讨论】：

非常感谢您的回答。因此，虽然我正在研究该解决方案并且仍在理解它的过程中，但该解决方案似乎假设 M 是一个常数。但是，如帖子中所述，L 值之间的差异应该“最接近在 L 上变化的给定整数值 M(L)”。因此，对于每个节点或值，M 是不同的，并且与开始相比，最后很可能是值的两倍或一半。但是，随后的 M 值非常接近，例如从 100 变为 102 或 98。
看了之后觉得这不是问题，因为均方误差只加到前面的误差上，M可以根据L[x[i]]和L[ x[k]]。另外，据我了解，这个算法要求向量的起始值和终止值是最优组合的一部分？
我确实假设 M 是恒定的，但幸运的是，将其改为每对相邻所选位置的终点（或起点，甚至两个点）的函数并不完全损害算法。
它不需要选择开始或结束位置。可能你有这个想法（至少在最后）是因为我谈到了通过 f(i, j) 进行追溯，而我应该说通过 g(i, j) 进行追溯。
我终于找到了实施它的时间，结果出乎意料地好。然而，我改变了 // f(i>=j, j>=2) = min of (g(k, j-1) + (L[x[i]]-L[x[k]]-M) ^2) over all 0

【解决方案3】：

我现在用我当前的实现来回答我自己的帖子，以便构建我的帖子并加载图像。不幸的是，代码没有做它应该做的事情。想象一下 L、M 和 q，如下图所示。使用 calcf 和 calcg 函数我计算了 F 和 G 矩阵，其中 F(i+1,j+1) 是计算和存储的 f(i,j) 和 G(i+1,j+1) 从 g(i ,j)。最优组合的SSE应该是G(N+1,q+1)，但是结果是错误的。如果有人发现错误，那将不胜感激。

G and F Matrix of given problem in the workspace. G and F are created by calculating g(N,q) via calcg(L,N,q,M).

calcf and calcg functions

【讨论】：