假设给你A 橙子和B 苹果。您想创建一篮子共有N 个水果。你能做的苹果和橙子的组合总数是多少？
假设A+B >= N。
示例：
我有 6 个橙子和 6 个苹果，我想创建一个总共有 9 个水果的篮子。
所以我有 4 种不同的组合：
3 apples 6 oranges
4 apples 5 oranges
5 apples 4 oranges
6 apples 3 oranges
我想创建一个简单（高效）的算法来计算这个数字。
是否有任何数学/组合方法来计算 O(1) 中的这个数字？我找不到正确的公式。
【问题讨论】：
标签： algorithm math combinations
这个答案将展示如何获得正确的封闭公式的通用方法，而不是给出“在这里，它有效”的公式。
要使用Stars and Bars formula 和Inclusion Exclusion 得到一个接近的公式，您需要找到方程的解数：
x1 + x2 = n
s.t.
(1) 0 <= x1 <= A
(2) 0 <= x2 <= B
表示：
W(0) = #solutions to the problem regardless of restrictions
W(1) = #solutions to the problem with (1) is NOT correct (x1 > A)
W(2) = #solutions to the problem with (2) is NOT correct (x2 > B)
W(1,2) = #solutions to the problem with both (1,2) NOT correct (x1 > A and X2 > B)
从包含排除原则，我们上面形式化的问题的答案是：
E = W(0) - (W(1) + W(2)) + W(1,2)
剩下的就是给W(...) 提供公式，为此我们将使用星形和条形。
使用无约束方程和条形星形定理2：
W(0) = Choose(N + 2 - 1, 2 - 1) = Choose(N + 1, 1) = N + 1
为了计算 W(1) 和 W(2)，我们强制 x1/x2 为 A+1 或 B+1，然后照常进行，得到方程：
x1 + x2 = N - A - 1
x1 + x2 = N - B - 1
和解的数量是（再次使用定理 2）：
W(1) = Choose(N - A - 1 + 2 - 1, 1) = Chose(N-A,1) = max{N-A,0}
W(2) = (similarly) = max{N-B,0}
对于 W(1,2)，我们设置两者并继续得到：
W(1,2) = Choose(N - A - 1 - B -1 + 2 - 1) = Choose(N-A-B-1,1) = max{N-A-B-1,0}
将所有内容加起来得到最终公式：
E = W(0) - (W(1) + W(2)) + W(1,2) =
= N + 1 - max{N-A,0} - max{N-B,0} + max{N-A-B-1,0}
在你的例子中是：
E = 9 + 1 - 3 - 3 + 0 = 4
【讨论】：
假设A_max 是可以包含在组合中的A 的最大数量，A_min 是必须包含在任何组合中的A 的最少数量。那么就会有两个条件必须满足：
A_max + B_min = N A_min + B_max = N因为我们知道A_max（即min(NumOfA, N)），所以B_min 可以很容易地从第一个等式中找到。同样，可以从第二个等式中找到A_min。
因此，组合列表将是：
A_max + B_min
(A_max-1) + (B_min+1)
(A_max-2) + (B_min+2)
...
(A_min) + (B_max)
因此，此类组合的计数将是 (A_max - A_min + 1) 或 (B_max - B_min + 1)
【讨论】：
应该是
ans = (A + B) - N + 1
【讨论】：
A 是 10 B 是 1 并且 N =4...答案应该是 ans=2(可以生成两对 (A,B)=(4,0 ) 或 (A,B)=(3,1)) 但您的公式将给出ans=8。
好的，抱歉，我（方式）太快了。
你知道至少有一个解决方案。
你必须至少取足够多的 A 果实，这样与 B 就可以得到 N。你最多可以取 A 的 A 果实。如果大于 N，则限制为 N。所以答案应该是：
min(A, N) - max(0, N-B) + 1
【讨论】：