数组中总和最小的索引集的特定子集答案

【问题标题】：Specific subset of index set with minimum sum in an array数组中总和最小的索引集的特定子集
【发布时间】：2012-07-31 16:21:58
【问题描述】：

您有 2 个数组 a 和 b，每个数组包含 n 个数字。你有一个数字 k。

[n] = 索引集 1...n

我们希望找到[n]的子集S，使得a中S索引的元素总和至少为k，并且b中S索引的元素总和尽可能小。

我什至找不到一个多项式时间算法。对于如何解决此问题的任何想法，我将不胜感激。

【问题讨论】：

这是作业吗？到目前为止，您提出了哪些方法？子集 S 不一定是连续的元素，对吧？
以下类似的问题可能会给你一些想法：stackoverflow.com/questions/8099334/…stackoverflow.com/questions/443712/…
这不是家庭作业。我正在阅读一个关于向玩家分配资源的问题，在特殊情况下会减少这种情况。我现在看到这是 NP 完全的。背包可以在多项式时间内求解，达到任意精度，我们也可以通过对目标值进行二分搜索将其简化为背包。所以，我想这也可以在多项式时间内以任何精度解决，不过我必须验证这一点。

标签： algorithm

【解决方案1】：

这个问题的一般解决方案是 NP 完全的，因为它包含了背包问题。但是，与背包问题一样，您可以使用动态规划建设性地解决它（在“伪多项式时间”中）。

要看到这个：给定一个背包问题，背包大小T 和对象大小c[i]，按照你的问题中描述的那样组合一个问题a[i]==b[i]==c[i] 和k == sum(c[i]) - T。

那么，背包问题的解决方案是S中的索引集合not：

sum(c[i] *not* indexed by S) == sum(c[i]) - sum(a[i] indexed by S)

T == sum(c[i]) - k

请注意，S 满足背包约束 sum(c[i] *not* indexed by S) <= T 当且仅当问题约束 sum(a[i] indexed by S) >= k 成立。

sum(c[i] *not* indexed by S) == sum(c[i]) - sum(b[i] indexed by S)

由于所提出问题的解决方案在有效 S 上最小化 sum(b[i] indexed by S)，因此sum(c[i] *not* indexed by S) 在有效 S 上最大化，并且是背包问题的最优解。

【讨论】：

【解决方案2】：

您至少对多项式感兴趣，对吧？很容易对集合的所有掩码进行指数迭代并检查两个条件（总和 >= k 并比较我们之前在 b 和现在的总和中的值）

【讨论】：