特殊二叉树，一个棘手的问题？答案

【问题标题】：Special Binary Tree, a tricky questions?特殊二叉树，一个棘手的问题？
【发布时间】：2016-05-15 09:50:18
【问题描述】：

我们有一个带有n 节点的二叉树。这棵树不一定是平衡的。对于这棵树的x这样的任何一个节点，我们计算该节点的left和right子树的大小（即：节点数），并将该节点的标签设置为这两个值的minimum （右尺寸和左尺寸子树的值）。如果任何子树的节点为零，则此大小等于0。以下哪项是正确的：

I) 标签总和属于订单O(n log n)。

II）有一棵树，它的标签总和属于订单O(n)。（即：是否有可能得到一棵其标签总和为 O(n) 的树？）

III）有一棵树，它的标签总和属于订单O(n^2)。

我的助教说其中两个是真的。我的问题是这些句子，谁能帮我描述一下？

【问题讨论】：

对于像你这样的专家@Jerry 这很明显。不适合我。还是谢谢
你试过在纸上画它们还是只是猜测？
@SaraPhD 在平衡树中所有非叶节点的标签至少为 1，并且大约有 n/2 个非叶节点。因此，平衡树中的标签总和至少为 n/2——因此可证明不是 O(log n)。
你真的不应该在不画树的情况下解决这些问题。
我认为这些陈述写得不好。其中一些需要Θ而不是O。Aslo，“有一棵树”在渐近边界的上下文中没有意义，我们需要谈论一个无限的树族。

标签： algorithm data-structures graph tree binary-tree

【解决方案1】：

我的猜测是 1 和 2。

1.) 考虑树的高度。高度和节点数 n 具有关系 n = (2^h)-1。从这个关系，我们可以推导出 h = logn。现在，让我们来看看二叉树每一层的节点数。一个级别可以拥有的最大节点数是 (n/2)，这是最后一级（在完整二叉树中，最后一级将有 n/2 个节点）。因此，计算最小值的最坏情况是（级别数）*（每个级别中的节点数）=> n/2logn => O(nlogn)。

2.) 通过改变树的高度可以获得 0(n) 解。例如，如果考虑所有节点的子集使得树的高度为零/一，那么就有可能获得 O(n) 解决方案 - 对于总级别为第二，最多可以有三个节点（根，左，右），因此，这里不涉及最小计算。在这种情况下，我们没有额外的登录运行时间，最终得到 O(n)。

【讨论】：

也许（3）有反例或证明，我认为这是一个很好的问题。
第二部分哪一部分不明白？
@SaraPhD 我尝试添加更多信息。希望这会有所帮助。
我们如何确定（3）？
@SaraPhD 使用 (1)，我说它需要 O(nlogn) 时间。所以对我来说，我们想用更短的运行时间来处理同样的问题是没有意义的（O(nlogn) 比 O(n^2) 好）。