生成括号问题的闭包数法答案

【问题标题】：Closure Number Method for Generate Parenthesis Problem生成括号问题的闭包数法
【发布时间】：2019-06-06 10:12:16
【问题描述】：

Leetcode 上的标准 Generate Parenthesis 题如下

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.
For example, given n = 3, a solution set is:
[
  "((()))",
  "(()())",
  "(())()",
  "()(())",
  "()()()"
]

在解决方案选项卡中，他们解释了Closure Number Method，我觉得很难理解。

我对代码进行了试运行，甚至得到了正确答案，但似乎无法理解它为什么起作用？这种方法背后的直觉是什么？

任何帮助将不胜感激！

【问题讨论】：

如果我有时间我会回答这个问题，但是如果你用谷歌搜索Catalan Number 并开始阅读你可能会找到一些帮助。加泰罗尼亚数字也与Motzkin Numbers 有关。
Code Golf 这些概念很有趣。这是我创建的与 Motzkin 数字相关的一个 - Enumerate binary trees
感兴趣的：Catalan Numbers Tom Davis
我添加了加泰罗尼亚语tag。标签中有很多不错的链接。
@Guy Coder 非常感谢！我会看看这些概念。

标签： algorithm catalan

【解决方案1】：

这个算法的基本思想是动态规划。因此，您尝试将您的问题分解为易于解决的小问题。在此示例中，您使子问题变得非常小，以至于解决方案是空字符串（如果大小为 0）或解决方案是“（）”（对于大小 1）。

你开始使用这样的知识，如果你想要给定长度的括号，那么第一个字符需要是“（”，并且在字符串的某个后面的位置需要这个字符：“）”。否则输出无效。

现在您不知道右括号的位置，所以您只需尝试每个位置（第一个 for 循环）。

您知道的第二件事是，在左括号和右括号之间以及在右括号之后必须有一些东西，您并不真正知道它的外观（因为有很多可能性），但它必须再次成为有效的括号对。

现在这个问题只是你已经解决的问题。因此，您只需输入有效括号的所有可能性（使用较小的输入大小）。因为这正是您的算法已经完成的工作，所以您可以使用递归函数调用来执行此操作。

总结：你知道问题的一部分，而其余的问题只是规模较小的同一个问题。所以你解决了你知道的问题的一小部分，然后递归地调用相同的方法来解决剩下的问题。之后，您只需将它们放在一起并得到您的解决方案。

动态编程通常不是那么容易理解，但非常强大。因此，如果您不直接了解它，请不要担心。解决此类难题是学习动态编程的最佳方式。

【讨论】：

【解决方案2】：

一个序列的闭包数，大小为该序列的最小前缀，它本身就是一个有效的序列。如果一个序列的闭包数为 k，那么您知道在索引 0 中有 '(' 并且在索引 k 中有 ')' 该方法通过检查此类前缀的所有可能大小来解决问题，对于每个大小，它将序列分解为前缀（删除 0 和 k 元素）和序列的所有其余部分，并递归解决两个子问题。

【讨论】：