给定一个标记为 1 到 N 的列表 L，以及一个从考虑中“移除”随机元素的过程，如何有效地跟踪 min(L)？答案

【问题标题】：Given a list L labeled 1 to N, and a process that "removes" a random element from consideration, how can one efficiently keep track of min(L)?给定一个标记为 1 到 N 的列表 L，以及一个从考虑中“移除”随机元素的过程，如何有效地跟踪 min(L)？
【发布时间】：2013-07-22 16:34:20
【问题描述】：

问题几乎在标题中，但说我有一个列表 L

L = [1,2,3,4,5]

min(L) = 1 这里。现在我移除 4。最小值仍然是 1。然后我移除 2。最小值仍然是 1。然后我移除 1。最小值现在是 3。然后我移除 3。最小值现在是 5，依此类推。

我想知道是否有一种好方法可以随时跟踪列表的最小值，而无需执行 min(L) 或扫描整个列表等。

实际从列表中删除项目会产生效率成本，因为它必须将其他所有内容移过来。每次重新排序列表也很昂贵。有没有办法解决这个问题？

【问题讨论】：

如果列表按照上面的方式排序，而不仅仅是list[0]？
保留排序列表的副本，然后是 alist[0]？
从列表中删除元素是有代价的，因为它必须将其他所有内容都移过来。我想知道是否有更好的方法可以使用静态数组来做事。
可以有辅助数据结构吗？或者您是否正在尝试就地执行此操作？它必须是一个列表还是可以是其他东西？
@JohnSmith 我认为你搞砸了。如果列表中没有排序，并且您没有在其他地方保留列表的有序版本，那么每次更新都是 O(n)。使用辅助列表，删除是 O(1)，插入是 O(n)，使用辅助堆 O(log n) 对于两者。

标签： python algorithm list min

【解决方案1】：

要删除随机元素，您需要知道哪些元素尚未删除。

要知道最小元素，您需要对项目进行排序或扫描。

实现为数组的最小堆巧妙地解决了这两个问题。删除一个项目的成本是 O(log N)，找到最小值的成本是 O(1)。这些项目连续存储在一个数组中，因此随机选择一个非常容易，O(1)。

最小堆被描述为on this Wikipedia page

顺便说一句，如果数据很大，您可以将它们留在原处，并将指针或索引存储在最小堆中，并相应地调整比较运算符。

【讨论】：

最小堆本身就是这样做的。
不正确。移除 smallest 项的成本是 O(lg n)。删除任意项目的成本是 O(n)。
你可以删除一个元素，用它的最小子元素替换它，然后递归。它是 O(log N)。即，堆中的每个元素都可以被视为子最小堆的根。见：cs.stackexchange.com/questions/6990/deletion-in-min-max-heaps
但是在你可以用任何东西替换它之前，甚至需要 O(n) 才能找到该项目。从根开始，你不知道它属于哪个子堆，所以你基本上必须遍历整个数据结构才能找到它。
你不需要找它；我们通过最小堆数组中的位置随机选择它。

【解决方案2】：

Google 用于自平衡二叉搜索树。从初始列表构建一个需要 O(n lg n) 时间，查找和删除任意项目将花费 O(lg n)（而不是 O(n) 从简单列表中查找/删除）。最小的项目将始终出现在树的根部。

This question 可能有用。它提供了各种平衡二叉搜索树的几种实现的链接。使用哈希表的建议不适用于您的情况，因为它没有解决维护最小项目的问题。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是一个需要 O(N lg N) 预处理时间 + O(lg N) 更新时间和 O(lg(n)*lg(n)) 删除时间的解决方案。

预处理：

第 1 步：对 L 进行排序

第2步：对于每个项目L[i]，映射L[i]->i

第 3 步：构建二叉索引树或分段树，其中对于 L 的每 1

查询类型删除：

步骤 1：如果项目 x 被删除，则对数组 L（其中 L 已排序）进行二进制搜索或从映射中找到它的索引。设置 BIT[index[x]] = 0 并更新所有范围。运行时间：O(lg N)

查询类型 findMin:

第 1 步：对数组 L 进行二分搜索。对于每个中间值，从 1-mid 找到 BIT 上的总和。如果 BIT[mid]>0 那么我们知道一些 value

段树也可以这样做。

编辑：如果我没记错的话，可以使用链表在 O(1) 中处理

【讨论】：

【解决方案4】：

如果排序不符合您的最佳利益，我建议只在您需要进行比较的地方进行比较。如果您删除了不是旧最小值的元素，并且没有插入任何新元素，则不需要重新扫描必要以获取最小值。

您能否向我们提供更多有关您正在尝试进行的处理的信息？

评论答案：您不必计算 min(L)。只需跟踪其索引，然后仅在删除位于（或低于）旧索引时重新运行 min(L) 扫描（并确保相应地跟踪它）。

【讨论】：

我的列表很大，我正在从考虑中“删除”元素，直到列表为空，但我需要跟踪每个步骤的最小值。但是，每次执行 min(L) 或对列表进行排序的成本很高。
@JohnSmith 每次删除最小值时都运行它，正如我在回复中指出的那样，成本太高？
您不能将索引保持在最小值，因为您必须考虑从索引低于当前最小值的元素中删除的元素。
好吧，如果是这样的话，他不能只使用当前索引并重置（编辑：不一定“重置”而是更多，“监控”）基于索引数量的索引向左还是向右，并且保持跟踪即使它移动了？
保持索引更新是微不足道的。如果删除索引左侧的项目，它会向左移动一步。如果您删除右侧的项目，则无需执行任何操作。

【解决方案5】：

您当前在移除最小值时重新扫描的方法是 O(1) 时间，预计每次移除都需要 O(1) 时间（假设每个项目都同样可能被移除）。

给定一个包含 n 个项目的列表，需要以 1/n 的概率重新扫描，因此每一步的预期工作量为 n * 1/n = O(1)。

【讨论】：