局部坐标系中的旋转，表示为四元数答案

【问题标题】：Rotation in local frame, expressed as quaternion局部坐标系中的旋转，表示为四元数
【发布时间】：2013-04-13 05:47:45
【问题描述】：

下图显示了位于全局坐标系 G 中的两个坐标系 A 和 B：

我需要找到将 A 旋转到 B，但在 A 本地的框架中表示的四元数。

第一部分很简单，B.conjugate()*A（从A 的旋转中减去B 的旋转），得到围绕(-1,0,0) 的π/2 旋转。这显然是正确的，因为将 A 围绕全局 -x 轴旋转 90° 会得到 B。

现在我需要在A 中表达该结果；期望的结果是 (0,0,-1) 周围的 π/2（这就是 A 中的全局 -x），但我无法仅通过旋转组合到达那里。

我可以将四元数转换为角度轴表示（π/2 围绕(-1,0,0)），将轴旋转为A*(-1,0,0)=(0,0,-1)，然后转换回四元数，但我希望尽可能避免这种转换。

如何仅使用四元数乘法获得旋转？

代码本身是 c++，但我在 python 中使用minieigen 进行检查：

from minieigen import *
from math import *
A=Quaternion((0,-1,0),pi/2)
B=Quaternion((sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3),(2/3.)*pi)
# rotation in global frame:
rg=B.conjugate()*A           # is Quaternion((-1,0,0),pi/2)
# rotation in local frame:
# ?? what now?! hack around with angle-axis
aa=rg.toAngleAxis()
rl=Quaternion(A*aa[1],aa[0]) # is Quaternion((0,0,-1),pi/2)

for q in A,B,rg,rl: print q

给出：

Quaternion((0,-1,0),1.5707963267948966)
Quaternion((0.5773502691896257,-0.5773502691896257,0.5773502691896257),2.0943951023931953)
Quaternion((-1,-7.850462293418876e-17,-7.850462293418876e-17),1.5707963267948968)
Quaternion((-1.1102230246251568e-16,-7.850462293418877e-17,-1),1.5707963267948968)

【问题讨论】：

标签： rotation quaternions coordinate-transformation

【解决方案1】：

这很简单，但我把它留在这里记录一下：

A*B.conjugate()

【讨论】：

【解决方案2】：

你的方程式不太适合我。

我将使用 Q' 作为 Q.conjugate。现在我们知道 Q'*Q 是身份，所以它是 Q*Q'。因此，如果您想知道将 A 转换为 B 的四元数（在全局框架中，因为 A 和 B 都在全局框架中），然后从该等式开始（假设这些四元数表示应用于列向量的旋转）：

Q*A=B

然后你把A移到另一边

Q*A*A'=B*A'=Q

这个，我们可以看出是正确的，因为B*A'*A=B。您问题中的方程式表明，B'*A*A=B。我认为，这在一般情况下并不成立。

现在，如果你希望旋转在A的框架而不是全局框架，那相当于说你想要B，在 A 的框架。这与从 B 中删除 A 相同。像这样：A'*B。这样，如果你从 A 的框架旋转到全局框架，你最终会再次得到 B：A*A'*B=B强>。

【讨论】：