量子 V 门 1/sqrt(5) ( I + 2iZ)

Question

根据定义，门 1/sqrt(5) (I + 2iZ) 应该作用于量子位 a|0> + b|1> 以将其转换为 1/sqrt(5) ((1+2i)a|0> + (1-2i)b|1>) 但每个 RUS 步骤的转换执行以下操作 - ancillas 最初处于 |+> 状态

1. 起始表格：1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,a,b)
2. CCNOT（辅助，输入）：1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,b,a)
3. S（输入）：1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,b,ia)
4. CCNOT（辅助，输入）：1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,ia,b)
5. Z（输入）：1/sqrt(2) (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)

现在在 PauliX 基础中测量辅助元素等效于将 H() 应用于状态后的 PauliZ 测量。现在我有两个困惑，我应该将H x H x I 或H x H x H 应用于组合状态。同样，当两个测量值都为零时，这些转换都不等同于第一段中定义的 V 门。我哪里做错了？

参考：https://github.com/microsoft/Quantum/blob/master/samples/diagnostics/unit-testing/RepeatUntilSuccessCircuits.qs（第一个示例代码）

Answer 1

转换是正确的，虽然需要一些时间用笔和纸来验证它。

作为旁注，我们从状态|+>|+>(a|0> + b|1>) 开始，它是向量形式的0.5 (a,b,a,b,a,b,a,b)（两个|+> 状态都对系数贡献了1/sqrt(2)）。它不会影响我们在测量后对状态的计算，因为它必须重新归一化，但仍然值得注意。

在一系列 CCNOT、S、CCNOT、Z 之后，我们得到0.5 (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)。由于我们仅在 PauliX 基础上测量前两个量子位，因此我们需要仅将 Hadamards 应用于前两个量子位，或将 H x H x I 应用于组合状态。

在应用 Hadamards 并快进到测量结果后，我会冒昧地跳过写出整个表达式，这就是原因。如果两个测量结果都为 0，我们只对输入量子位的状态感兴趣，因此只收集以|00> 作为前两个量子位状态的整体状态项就足够了。

在第一个量子位上测量|00> 后第三个量子位的状态将是：(3+i)a |0> - (3i+1)b |1>，乘以某个归一化系数c。 c = 1/sqrt(|3+i|^2 + |3i+1|^2) = 1/sqrt(10)).

现在我们需要检查我们得到的状态，|S_actual> = 1/sqrt(10) ((3+i)a |0> - (3i+1)b |1>) 与我们期望通过应用 V 门获得的状态相同， |S_expected> = 1/sqrt(5) ((1+2i)a |0> + (1-2i)b |1>)。它们看起来不一样，但请记住，在量子计算中，状态被定义为全局阶段。因此，如果我们能找到一个绝对值为 1 的复数 p，而 |S_actual> = p * |S_expected> 的状态实际上是相同的。

这转化为p 和|0> 和|1> 的幅度的以下等式：(3+i)/sqrt(2) = p (1+2i) 和-(3i+1)/sqrt(2) = p (1-2i)。我们求解这两个方程得到p = (1-i)/sqrt(2)，它的绝对值确实是1。

因此，我们可以得出结论，确实我们在所有变换之后得到的状态确实等同于我们通过应用 V 门得到的状态。