人类可读订单代码的完美哈希函数

Question

我正在尝试生成非序列的人类可读订单代码，该订单代码源自（比如说）一个无符号的 32 位内部 id，它从 1 开始，每个新订单都会自动递增。

在下面的示例代码中，每个$hash 是否都是唯一的？ （我计划对$hash 进行base34 编码以使其可读。）

<?php
function int_hash($key) {
  $key = ($key^0x47cb8a8c) ^ ($key<<12);
  $key = ($key^0x61a988bc) ^ ($key>>19);
  $key = ($key^0x78d2a3c8) ^ ($key<<5);
  $key = ($key^0x5972b1be) ^ ($key<<9);
  $key = ($key^0x2ea72dfe) ^ ($key<<3);
  $key = ($key^0x5ff1057d) ^ ($key>>16);
  return $key;
}

for($order_id = 1; $order_id <= PHP_INT_MAX; ++$order_id) {
  $hash = int_hash($order_id);
}
?>

如果没有，有没有关于如何替换int_hash的建议？

说，base34 编码 md5($order_id) 的结果对我来说太长了。

Answer 1

在下面的示例代码中，每个 $hash 是否都是唯一的？

几乎。（我猜，这意味着“不，但以一种很容易修复的方式”。）您的功能由一系列独立的步骤组成；当且仅当这些步骤中的每一个都是双射的（可逆的）时，整个函数才是双射的。 （你明白为什么吗？）

现在，每个步骤都有以下形式之一：

  $key = ($key ^ CONSTANT) ^ ($key >> NUM_BITS);
  $key = ($key ^ CONSTANT) ^ ($key << NUM_BITS);

NUM_BITS != 0.

我们实际上可以将它们视为单一形式的变体，将前者视为几乎相当于：

  $key = invert_order_of_bits($key); # clearly bijective
  $constant = invert_order_of_bits(CONSTANT);
  $key = ($key ^ $constant) ^ ($key << NUM_BITS);
  $key = invert_order_of_bits($key); # clearly bijective

所以我们只需要证明这一点：

  $key = ($key ^ CONSTANT) ^ ($key << NUM_BITS);

是双射的。现在，XOR 是可交换的和关联的，所以上面等价于：

  $key = $key ^ ($key << NUM_BITS);
  $key = $key ^ CONSTANT;

和(x ^ y) ^ y == x ^ (y ^ y) == x ^ 0 == x，很明显，与一个常数值的异或是可逆的（通过与相同的值重新异或）；所以我们要证明的是这是双射的：

  $key = $key ^ ($key << NUM_BITS);

无论何时NUM_BITS != 0。

现在，我不是在写一个严格的证明，所以我只给出一个 single 合理的例子来说明如何扭转这一点。假设$key ^ ($key << 9)是

0010 1010 1101 1110 0010 0101 0000 1100

我们如何获得$key？好吧，我们知道$key << 9的最后九位都是零，所以我们知道$key ^ ($key << 9)的最后九位和$key的最后九位是一样的。所以$key 看起来像

bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbb1 0000 1100

所以$key << 9 看起来像

bbbb bbbb bbbb bb10 0001 1000 0000 0000

所以$key 看起来像

bbbb bbbb bbbb bb00 0011 1101 0000 1100

（通过对$key ^ ($key << 9) 与$key << 9 进行异或运算），所以$key << 9 看起来像

bbbb b000 0111 1010 0001 1000 0000 0000

所以$key 看起来像

bbbb b010 1010 0100 0011 1101 0000 1100

所以$key << 9 看起来像

0101 1000 0111 1010 0001 1000 0000 0000

所以$key 看起来像

0111 0010 1010 0100 0011 1101 0000 1100

所以。 . .为什么我说“几乎”而不是“是”？为什么你的散列函数不是完美双射的？这是因为在 PHP 中，位移运算符>> 和<< 不是相当 对称的，而$key = $key ^ ($key << NUM_BITS) 是完全可逆的，$key = $key ^ ($key >> NUM_BITS) 不是。 （上面，当我写到这两种类型的步骤“几乎等效”时，我真的意思是“几乎”。这会有所不同！）你看，而<< 像对待任何其他位一样对待符号位，并将其移出（在右侧引入一个零位），>> 特别对待符号位，并“扩展”它：左边带入等于符号位。 （注意，您的问题提到了“无符号 32 位”值，但 PHP 实际上并不支持它；它的按位运算总是在 signed 整数上。）

由于这个符号扩展，如果$key以0开头，那么$key >> NUM_BITS以0开头，如果$key以1开头，那么$key >> NUM_BITS也以$key >> NUM_BITS开头1。无论哪种情况，$key ^ ($key >> NUM_BITS) 都将以0 开头。你已经失去了一点熵。如果你给我$key ^ ($key >> 9)，但不告诉我$key 是否为负，那么我能做的最好的就是计算$key 的两个可能值：一个负，一个正或零。

您执行了两个使用右移而不是左移的步骤，因此您丢失了两位熵。 （我稍微挥手——我实际证明的只是你失去至少一位，至多两位——但我有信心，由于这些右移步骤之间的步骤的性质，您实际上会丢失两个完整的位。）对于任何给定的输出值，恰好有四个不同的输入值可以产生它。所以它不是唯一的，但它几乎是唯一的；它很容易通过以下方式修复：

• 将两个右移步骤改为使用左移；或
• 将两个右移步骤移到函数的开头，在任何左移步骤之前，并说输出对于 0 到 2³¹-1 之间的输入是唯一的，而不是输入介于 0 和 2³²-1.