在 Matlab 中处理有理数而不损失计算的准确性？

Question

我想在计算中使用这个有理数而不损失 Matlab 中图片的准确性：

f = 359.0 + 16241/16250.0

我认为存储，例如 f = uint64(359.0 + 16241/16250.0) 会失去准确性，在 Matlab 中被视为 360。

我认为处理这件事的最好方法是永远不要存储价值，而是存储它的因素，例如

% f = a + b/c
a = 359
b = 16241
c = 16250

然后通过变量a、b和c进行计算，并以图片的形式给出结果。

这是保持准确性的好方法吗？

Answer 1

正如您所建议的，如果您绝对不想在存储有理数时失去准确性，最好的解决方案可能是按照整数分量存储数字。

代替您的三个组件 (f = a + b/c)，您可以将表示减少到两个组件：f = n/d。因此，每个有理数都将被定义（并存储）为二分量整数向量[n d]。例如，您示例中的数字f 对应于n=5849991 和d=16250。

为了简化以这种方式存储的有理数的处理，您可以定义一个辅助函数，在应用所需的操作之前将[n d] 表示形式转换为n/d：

useInteger = @(x, nd, fun) fun(x,double(nd(1))/double(nd(2)));

然后

>> x = sqrt(pi);
>> nd = int64([5849991 16250]);
>> useInteger(x, nd, @plus)
ans =
  361.7719
>> useInteger(x, nd, @times)
ans =
  638.0824

如果您想在计算中实现任意高精度，您应该考虑使用带有字符串参数的variable-precision arithmetic (vpa)。通过这种方法，您可以指定所需的位数：

>> vpa('sqrt(pi)*5849991/16250', 50)
ans =
638.08240465923757600307902117159072301901656248436

Answer 2

也许创建一个Rational 类并定义所需的操作（plus、minus、times 等）。从这样的开始：

Rational.m

classdef Rational
    properties
        n;
        d;
    end
    methods
        function obj = Rational(n,d)
            GCD = gcd(n,d);
            obj.n = n./GCD;
            obj.d = d./GCD;
        end

        function d = dec(obj)
            d = double(obj.n)/double(obj.d);
        end

        % X .* Y
        function R = times(X,Y)
            chkxy(X,Y);
            if isnumeric(X),
                N = X .* Y.n; D = Y.d;
            elseif isnumeric(Y),
                N = X.n .* Y; D = X.d;
            else
                N = X.n .* Y.n; D = X.d .* Y.d;
            end
            R = Rational(N,D);
        end

        % X * Y
        function R = mtimes(X,Y)
            R = times(X,Y);
        end

        % X ./ Y
        function R = rdivide(X,Y)
            if isnumeric(Y),
                y = Rational(1,Y);
            else
                y = Rational(Y.d,Y.n);
            end
            R = times(X,y);
        end

        % X / Y
        function R = mrdivide(X,Y)
            R = rdivide(X,Y);
        end

        % X + Y
        function R = plus(X,Y)
            chkxy(X,Y);
            if isnumeric(X),
                N = X.*Y.d + Y.n; D = Y.d;
            elseif isnumeric(Y),
                N = Y.*X.d + X.n; D = X.d;
            else
                D = lcm(X.d,Y.d);
                N = sum([X.n Y.n].*(D./[X.d Y.d]));
            end
            R = Rational(N,D);
        end

        % X - Y
        function R = minus(X,Y)
            R = plus(X,-Y);
        end

        % -X
        function R = uminus(X)
            R = Rational(-X.n,X.d);
        end

        function chkxy(X,Y)
            if (~isa(X, 'Rational') && ~isnumeric(X)) || ...
                    (~isa(Y, 'Rational') && ~isnumeric(Y)),
                error('X and Y must be Rational or numeric.');
            end
        end
    end
end

示例

构造对象：

>> clear all % reset class definition
>> r1 = Rational(int64(1),int64(2))
r1 = 
  Rational with properties:

    n: 1
    d: 2
>> r2 = Rational(int64(3),int64(4))
r2 = 
  Rational with properties:

    n: 3
    d: 4

加减法：

>> r1+r2
ans = 
  Rational with properties:

    n: 5
    d: 4
>> r1-r2
ans = 
  Rational with properties:

    n: -1
    d: 4

乘除法：

>> r1*r2
ans = 
  Rational with properties:

    n: 3
    d: 8
>> r1/r2
ans = 
  Rational with properties:

    n: 2
    d: 3

获取十进制值：

>> r12 = r1/r2; % 2/3 ((1/2)/(3/4))
>> f = r12.dec
f =
    0.6667

Answer 3

LuisMendo 答案的扩展

我认为这是您 py 建议的错误

>>> a = 638.08240465923757600307902117159072301901656248436059
>>> a
638.0824046592376             % do not know if Python is computing here with exact number
>>> b = 638.0824
>>> ave = abs(b+a)/2
>>> diff = abs(b-a)
>>> ave = abs(b+a)/2
>>> diff/ave
7.30193709165014e-09

这比上面建议的错误存储错误更多。

我在 WolframAlpha 中运行

x = sqrt(pi)
x*5849991/16250

得到

509.11609919757198016211937362635174599076143654820109

我不确定这是否是您对答案的评论中的意思。

Answer 4

chappjc 答案的扩展。

我现在有

[B,T,F] = tfrwv(data1, 1:length(data1), length(data1)); % here F double
fs = Rational(uint64(5849991), uint64(16250));
t = 1/fs;
imagesc(T*t, F*fs, B); 

我运行它

Error using  .* 
Integers can only be combined with integers of
the same class, or scalar doubles.

Error in  .*  (line 23)
                    N = X .* Y.n; D = Y.d;

Error in  *  (line 34)
                R = times(X,Y);

如何在这个类中用 Rational 乘以双精度数？