绕圆运动的点的三角剖分算法答案

【问题标题】：Algorithm for triangulation of point travelling around a circle绕圆运动的点的三角剖分算法
【发布时间】：2013-07-10 09:31:34
【问题描述】：

给定以下系统：

地点：

A：存在于 xz 平面上半径为 r 的圆的边缘上任意位置的点。
θ：正 x 轴与从原点到点 A 的向量之间的角度。范围应为 -PI/2 到 PI/2。
B1：圆与正 x 轴的交点，高度为h1。
B2：圆与正 z 轴的交点，高度为h2。
d1：B1 和 A 之间的距离。
d2：B2 和 A 之间的距离。

假设：

h1、h2 和 r 是已知常量。
d1 和 d2 是已知变量。

如何找到θ？

这最终将在嵌入式系统中用 C 语言实现，在该系统中，arctan2、sine 和 cosine 具有相当快的功能。因此，性能绝对是重中之重，如果估计正确到小数点后 3 位（这就是我的三角函数的准确度），就可以使用估计。

但是，即使给出了一个数学算法，我相信我可以制定出具体的实现。

对于它的价值，我已经做到了：

(d1^2 - h1^2) / r = (sin(θ))^2        + (cos(θ))^2
(d2^2 - h2^2) / r = (sin(PI/4 - θ))^2 + (cos(PI/4 - θ))^2

在我意识到这之前，从数学上讲，这方式超出了我的范围。

【问题讨论】：

标签： c geometry triangulation

【解决方案1】：

这不是一个完整的答案，而是一个开始。

您可以进行两种简单的简化。

让 H1 和 H2 成为平面中 B1 和 B2 下方的点。由于您知道 h1 和 d1、h2 和 d2，您可以计算 2 个距离 A-H1 和 A-H2（使用毕达哥拉斯）。现在您已将拼图简化为平面。

此外，您实际上不需要同时查看 H1 和 H2。给定距离 A-H1，A 只有 2 个可能的位置，它们在 x 轴上镜像。然后你可以通过查看A-H2距离是否高于或低于阈值距离H2-H1来找到两者中的哪一个。

这似乎是一个好的开始:-)

【讨论】：

这实际上是一个非常好的观点。那时，我有一个边为 r、r 和 A-H1 的三角形（我们称之为 d）。根据余弦定律，我认为这使得theta = arccos((2r^2 - d^2) / (2r^2))。然后，就像你提到的，只需要使用其他距离计算出象限。

【解决方案2】：

使用@Rhialto，对角落案例进行额外的简化和测试：

// c1 is the signed chord distance A to (B1 projected to the xz plane)
// c1*c1 + h1*h1 = d1*d1
// c1 = +/- sqrt(d1*d1 - h1*h1)  (choose sign later)
// c1 = Cord(r, theta) = fabs(r*2*sin(theta/2))
// theta = asin(c1/(r*2))*2
//
// theta is < 0 when d2 > sqrt(h2*h2 + sqrt(2)*r*sqrt(2)*r)
// theta is < 0 when d2 > sqrt(h2*h2 + 2*r*r)
// theta is < 0 when d2*d2 > h2*h2 + 2*r*r

#define h1 (0.1)
#define h2 (0.25)
#define r (1.333)

#define h1Squared (h1*h1)
#define rSquared  (r*r)
#define rSquaredTimes2  (r*r*2)
#define rTimes2   (r*2)
#define d2Big (h2*h2 + 2*r*r)

// Various steps to avoid issues with d1 < 0, d2 < 0, d1 ~= h1 and theta near pi
double zashu(double d1, double d2) {
  double c1Squared = d1*d1 - h1Squared;
  if (c1Squared < 0.0)
    c1Squared = 0.0;  // _May_ be needed when in select times |d1| ~= |h1|
  double a = sqrt(c1Squared) / rTimes2;
  double theta = (a <= 1.0) ? asin(a)*2.0 : asin(1.0)*2.0; // Possible a is _just_ greater than 1.0
  if (d2*d2 > d2Big) // this could be done with fabs(d2) > pre_computed_sqrt(d2Big)
    theta = -theta;
  return theta;
}

【讨论】：