算法分析 - 在有序数组中查找缺失的整数比 O(n) 更好答案

【问题标题】：Analysis of Algorithms - Find missing Integer in Sorted Array better than O(n)算法分析 - 在有序数组中查找缺失的整数比 O(n) 更好
【发布时间】：2015-07-04 13:31:12
【问题描述】：

我是第一次分析算法类，想知道是否有人可以帮助解决以下示例。我相信我已经解决了 O(n) 复杂度的问题，但想知道是否有更好的版本我不考虑 O(logn)？

令 A= A[1]

我的解决方案相对简单，我相信会导致最坏情况下的 N 复杂度。也许我在想这个例子，但是有更好的解决方案吗？

我的解决方案

for(i = 1; i < n +1; i++) :
    if(A[i-1] > i) :
         return i

这背后的逻辑是，既然是排序的，第一个元素一定是1，第二个一定是2，以此类推，直到数组中的元素大于它应该是的元素，表示丢失了一个元素，返回它应该是的元素，我们有丢失的元素。

这是正确的逻辑吗？有没有更好的办法？

感谢您的阅读，并提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

是的。有一个更好的解决方案。提示：你真的需要查看数组中的每个元素吗？
请您清理一下您对问题的陈述好吗？ (1) 如果 A 不同，则表示它们不相等；那么为什么不直接说“A[1]

标签： arrays algorithm sorting asymptotic-complexity

【解决方案1】：

您可以使用 A[i] > i 对第一个索引 i 进行二分搜索。如果缺失的整数是 k，那么 A[i] = i for i = k.

【讨论】：

【解决方案2】：

这个逻辑当然是正确的，但它还不够快，无法击败 O(n)，因为你检查了每个元素。

您可以通过观察如果A[i]==i，那么j < i 中的所有元素都在其正确的位置，可以更快地做到这一点。这个观察应该足以构建一个在 O(log₂n) 中运行的分而治之的方法：

检查中间的元素
如果在错误的位置，向左走
否则，向右走

更正式地说，您正在寻找A[i]==i 和A[i+1]==i+2 的位置。您从数组末端的间隔开始。间隔中间的每个探针都会将剩余间隔缩小两倍。在某些时候，您只剩下两个元素的间隔。左边的元素是最后一个“正确”的元素，而右边的元素是缺失数字之后的第一个元素。

【讨论】：

让我试着把它变成基于英文的： - 选择 1....N 的中间值 - 如果 A[i-1] （因为有效整数从 1 开始，并且数组访问从 0) != i - 缺少的元素必须在左侧 - 选择 1 的中间 .... I-1 冲洗重复直到 A[i-1] > i 这样做有效吗？
如果原始选择是 A[i-1] == i，那么在右边做同样的事情
@Busturdust 是的，就是这样。
A[i-1] > i 真的是终止条款吗？因为假设缺少的元素是 1，所有元素都将是 A[i-1] > i，并且将在到达第一个元素之前终止。我想我错过了什么
@Busturdust 你需要找到A[i]==i 和A[i+1]==i+2 的位置。您从数组末端的间隔开始，间隔中间的每个探针都会将剩余的间隔缩小两倍。在某些时候，您只剩下两个元素的间隔。左边的元素是最后一个“正确”的元素，而右边的元素是缺失数字之后的第一个元素。

【解决方案3】：

有时诀窍是换个角度思考问题。

实际上，您只是在处理一组布尔值；索引n 处的条目是a[n] > n 的真相。

此外，这个数组以零个或多个连续的false开头，其余条目都是true。

现在，您的问题是在（排序的）布尔值数组中找到true 的第一个实例的索引。

【讨论】：