最大化表的总和，其中每个数字必须来自唯一的行和列

Question

假设我们有一个这样的数字表（我们可以假设它是一个方表）：

20  2   1   3   4
5   1   14  8   9
15  12  17  17  11
16  1   1   15  18
20  13  15  5   11

您的工作是计算 n 个数字的最大总和，其中 n 是表中的行数或列数。关键是每个数字必须来自唯一的行和列。

例如，选择 (0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3) 和 (4,4) 处的数字是可以接受的，但 (0,0)、 (0,1)、(2,2)、(3,3) 和 (4,4) 并不是因为前两个数字是从同一行中拉出来的。

我对这个问题的（可笑的）解决方案是遍历行和列的所有可能排列。这适用于小网格，但当然，随着 n 变大，它会非常慢。如果我没记错的话，它的时间复杂度为 O(n!)（示例 Python 代码如下）。

我真的认为这可以在更好的时间解决，但我没有想出足够聪明的东西。

所以我的问题是，应该使用什么算法来解决这个问题？

如果有帮助，这个问题似乎类似于 knapsack problem.

import itertools
import re

grid = """20    2   1   3   4
5   1   14  8   9
15  12  17  17  11
16  1   1   15  18
20  13  15  5   11"""
grid = [[int(x) for x in re.split("\s+", line)] for line in grid.split("\n")]

possible_column_indexes = itertools.permutations(range(len(grid)))
max_sum = 0
max_positions = []
for column_indexes in possible_column_indexes:
    current_sum = 0
    current_positions = []
    for row, col in enumerate(column_indexes):
        current_sum += grid[row][col]
        current_positions.append("(%d, %d)" % (row, col))
    if current_sum > max_sum:
        max_sum = current_sum
        max_positions = current_positions

print "Max sum is", max_sum
for position in max_positions:
    print position

Answer 1

这是最大成本的二分匹配问题。解决它的经典方法是使用Hungarian algorithm。

基本上你有一个二分图：左边的集合是行，右边的集合是列。从行i 到列j 的每条边的成本为matrix[i, j]。找到使成本最大化的匹配项。

Answer 2

对于初学者，您可以使用动态编程。

在您的直接方法中，您正在多次执行完全相同的计算。

例如，在某些时候，您会回答以下问题：“对于已占用第 1 行和第 2 行的最后三列，如何使总和最大化？”您计算这个问题的答案两次，一次是从第 1 列中选择第 1 行，从第 2 列中选择第 2 行，反之亦然。

所以不要那样做。 缓存答案——同时缓存所有类似问题的所有类似答案——并重复使用它们。

我现在没有时间分析这种方法的运行时间。我认为它是 O(2^n) 左右。以后可能会更...